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1. Rappresentino le x; (îi=1,2,...n-+-1) coordinate omogenee di punti x in 
uno spazio lineare ad n dimensioni S, e le €, (k=1,2,....n-+-1) coordinate omo- 
genee di piani (spazi lineari ad n —1 dimensioni) & in un altro spazio lineare ad n 
zl 
dimensioni S'. Allora un’ equazione bilineare qualunque nelle «; e &", 
(1) Dan 0E,=0, 
ik 
rappresenta un’ omografia, vale a dire una corrispondenza in cui ad un punto qua- 
lunque x di S corrisponde in S' il punto 4’ avente per equazione in coordinate &", 
di piani la (1), cioè il punto di coordinate : 
(2) por = Za, 
i 
- 
e similmente ad un piano qualunque & di S' corrisponde in S il piano % avente 
la (1) per equazione in coordinate x; di punti, cioè il piano di coordinate: 
(3) re=Zanfn. 
k 
Viceversa, se è dato in S' un punto qualunque x’, le coordinate del punto  corri- 
spondente di S si avranno risolvendo le equazioni (2) rispetto alle x;. Supponendo 
adunque anzitutto che il determinante 
Az | dik | 
che diremo determinante dell’ omografia, non sia nullo, e chiamando A, il subde- 
terminante complementare di a,, in A, avremo: 
(2°) GH= ZA Las 
e similmente risolvendo le (3) si ha che il piano & corrispondente al piano & sarà 
dato da: 
(3) SE n = p Anti. 
Sommando tra loro le (2') moltiplicate per &;, ovvero le (3') moltiplicate per 4%, 
si ha per equazione del punto 4 corrispondente ad x", ovvero del piano &' corri- 
spondente a £, l’ equazione : 
(1°) ZA nf:dh =0. 
(113 
Questa equazione bilineare rappresenta adunque l’omografia considerata in modo 
analogo alla equazione (1). Abbiamo dunque vari modi, sostanzialmente identici , 
di rappresentare analiticamente la stessa omografia. Si può partire, come abbiamo 
fatto, da un’equazione bilineare e dedurne le relazioni lineari tra le coordinate di 
elementi corrispondenti; ma si può anche partire da tali relazioni lineari e dedurne 
quell’equazione bilineare. Due forme bilineari aggiunte l’una dell’ altra rappresen- 
teranno una stessa omografia, ma con uno scambio dei due spazi. 
2. La corrispondenza tra i punti 2, ' ei piani &, & dei due spazi espressa 
dalle equazioni lineari (2), (2°) e (3), (3) è evidentemente tale che, se & ovvero £ 
descrivono spazi lineari ad un numero qualunque di dimensioni di punti o pi 
piani contenuti in S, anche 4° o &' descriveranno spazi lineari ad egual numero di 
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