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chiaro che, qualunque sia x’, le equazioni (2) tra le x; sono sempre soddisfatte da tutti i 
punti y determinati dalle (4). Similmente si vede dalle equazioni (3) mediante 
le (4) e (5) che ad un piano qualunque & di S' corrisponde in S un piano & deter- 
minato passante per P,_1, salvo quando quel piano &' sia singolare, cioè appartenga 
a Il,_1, nel qual caso il piano corrispondente & è affatto indeterminato. Viceversa 
ad un piano qualunque é di S corrispondono in S' soltanto tutti i piani »' dello 
a 
spazio singolare Il°,_, definito dalle (5), ma se € passa per lo spazio singolare di 
punti P,_1, allora i piani &' corrispondenti formano un sistema ad / dimensioni, 
cioè un X,, passante per II'_1. 
4. Una tale omografia si dirà omografia degenere o singolare di hesima specie. 
Riassumendo, essa è dunque dotata di uno spazio singolare di punti ad A—1 dimen- 
sioni P;_j in S e di uno spazio singolare di piani ad &4—1 dimensioni IT,-1 in S, 
e stabilisce le seguenti corrispondenze: 
Ad un punto di S in generale . . . un punto di S' posto sul sostegno di IT}_i 
» un punto qualunque di S' . . . tutti i punti in S di P,_i 
TM Puro dii S Srila 5 0 0 tutti i punti di S' 
» un punto di S' sul sostegno di IT,_1 i punti di un S, passante per P,_1 
Ad un piano qualunque di S_. . . tutti i piani di II,_1 
< un piano qualunque di ST. . . un piano di S passante per P;_1 
< un piano di S passante per P,_1 . i piani di un X, passante per II'}-1 
« un piano di S' appartenente a Il',_1 tutti i piani di S. 
È facile dedurne quali enti corrispondano in ciascuno dei due spazi S, S' a 
sistemi lineari qualunque di punti o di piani contenuti nell’altro. Notiamo piuttosto 
che gli S, passanti per P,_1 sono gli elementi di uno spazio lineare ad n—/ dimen- 
sioni, il quale è legato (come risulta tosto dalle proprietà viste delle omografie) da 
un’omografia non degenere allo spazio lineare ad n-—A dimensioni di punti costituente 
il sostegno di Il;_1, in guisa che in quest’omografia ad ogni punto di questo sostegno 
corrisponde quell’ S, che, considerato come luogo di punti, vedemmo corrispondergli 
nell’omografia degenere considerata tra gli spazi S e S'. Correlativamente quest’ultima 
omografia determina un’ omografia non degenere tra lo spazio lineare ad n—A dimen- 
sioni dei X, passanti per II',_1 e quello dei piani passanti per P,_1. Invece di quei 3", 
considerando i loro sostegni, è chiaro che essi stanno sul sostegno di II',_, e quest’os- 
. servazione mostra facilmente che l’ omografia non degenere ora considerata e quella 
che le corrisponde per dualità, sono conseguenza immediata l'una dell’altra. 
Viceversa, abbiansi negli spazi S, S' due sistemi lineari ad h—1 dimensioni di 
punti e di piani P,_1, II',_1, e si stabilisca un’omografia non degenere tra gli S, 
passanti per P,_j ed i punti del sostegno di II,_,, e quindi anche tra i piani passanti 
per P,_, e (gli S,._x_1 posti su quel sostegno, vale a dire) i X, passanti per II,_1. 
Sarà così determinata tra S, S' un’omografia degenere di he specie, in cui P,_y, 
Il',-1 sono gli spazi singolari, a un punto del sostegno di II,_j corrispondono in S 
tutti i punti del corrispondente S, passante per P,_1, e ad un punto qualunque di S' 
corrispondono solo tutti i punti di P_i; ece. 
