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5. L’omografia tra i due spazi distinti S, S' rappresentata dall’ equazione 
bilineare 
Za 0; E,=0 
ik 
rimane proiettiva a se stessa se si fanno per le x; e le &, due sostituzioni lineari 
qualunque , affatto indipendenti tra loro e di moduli non evanescenti. Queste due 
sostituzioni si possono anche considerare come cambiamenti dei sistemi di riferimento 
dei due spazi S, S'. Ora esse si possono sempre determinare in modo che quella 
equazione prenda quest’ altra forma RSA 
Zaj®:ti=0. 
In fatti è chiaro anzitutto che questa forma è caratteristica pel caso in cui glin+-1 
punti (o piani) di riferimento dello spazio S, corrispondano in quell’ omografia 
agli n+1 punti (o piani) omologhi di riferimento dello spazio S'. Ora si può sempre 
fare una tal scelta di punti di riferimento, poichè la sola condizione da soddisfare 
è che in ciascuno dei due spazi S, S' quegli n-+-1 punti siano indipendenti, cioè non 
stiano su un piano; condizione a cui si soddisfa, nel caso di un’omografia non 
degenere prendendo nell’ uno dei due spazi gli n-+-1 punti in modo da soddisfarla, 
con che anche i punti corrispondenti dell’ altro spazio la soddisferanno, e nel caso 
di un’omografia degenere di Asm: specie dotata di uno spazio singolare di punti P,_1 
in S e di uno spazio singolare di piani IT,_1 in S' prendendo degli n-+1 punti 
di S A su P,_q e i rimanenti n—-h+ 1 ad arbitrio fuori di P,_1, con che i punti 
corrispondenti di S' saranno (n.4) risp. A punti arbitrari di S' non posti sul sostegno 
di IT,_1 ed n—-hR+1 punti determinati di questo sostegno. 
Ogni omografia tra due spazi distinti S, S' si può dunque sempre rappresentare 
con un’equazione di quella forma particolare, e anzi dalle cose dette dianzi segue 
che se quell’omografia è degenere di hesm specie lo spazio singolare di punti dello 
spazio S congiungerà A dei nuovi punti di riferimento di S, e lo spazio singolare di 
piani di S' avrà il sostegno determinato dal dover congiungere gli n—h+-1 punti 
di riferimento di S' non omologhi a quegli f. Ciò risulta pure dal fatto che per 
definizione l’omografia degenere di ASsim: specie essendo caratterizzata dall’ annullarsi 
del suo determinante e dei suoi subdeterminanti d’ ordine n—-h-+-2, affinchè quell’equa- 
zione rappresenti una tale omografia occorre e basta che si annullino 4 dei suoi coef- 
ficienti a;. Quindi un’ omografia degenere di /e5m® specie DUO sempre rappresentarsi 
con un'equazione della forma : i 
i=n—h+1 
DI UE =0, 
i=1 
donde si scorge che lo spazio singolare di punti in S e quello di piani in S', sono 
TO di quei punti e quei piani che soddisfanno risp. alle equazioni x;=0, 
,—0, per tutti i valori di è da 1 ad n—-hR+1. 
È chiaro che senza alterare i sistemi di riferimento si può anche scrivere 
quell’ equazione così: 
i=n—h+1 
S citi =0 
all 
Possiamo dunque conchiudere: Tutte le omografie tra spazi lineari distinti ad n 
