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dimensioni o non degeneri, oppure degeneri della stessa specie, sono identiche dal 
punto di vista proiettivo. Od in altri termini: Un’ omografia tra spazi distinti non 
ha invarianti assoluti. 
Il. 
6. Due equazioni bilineari tra le 4; e le È: 
(1) A=ZapWé,=0, Bre="Zby Gi g=0 
i, ik 
rappresentano due omografie tra gli spazi S ed S' e quindi anche un’ omografia tra gli 
elementi dello spazio S. Consideriamo in fatti un punto qualunque @ di S e cer- 
chiamone il punto corrispondente 2° di S' nell’ omografia A,g", e poi di questo il 
punto corrispondente y di S nell’ omografia B,z". Se, come noi supporremo, il de- 
terminante di questa non è nullo, è chiaro che in generale dato il punto « sarà 
individuato nel modo detto il punto y. e la corrispondenza che così si ottiene nello 
spazio S tra i suoi punti a, y è omografica, poichè si può rappresentare colla tra- 
sformazione lineare: 
(2) ZaipCi=TdinYi, 
e queste equazioni sono, per l’ipotesi fatta, risolubili rispetto alle y;. In tal modo 
dunque le equazioni (1) servono a rappresentarci un’ omografia tra due spazi sovrap- 
posti ad S mediante la considerazione di uno spazio ausiliario S'. 
7. Cerchiamo i punti uniti di quest’ omografia, cioè quei punti nei quali 
coincidono due punti corrispondenti x, y. Perchè un punto x sia unito dovrà sod- 
disfare alle equazioni (2) in cui si ponga y;=%;, cioè: 
(3) D (dix — pd) VIP 
Ora queste equazioni lineari omogenee nelle x; dànno anzitutto : 
(4) A()=| cada |=0: 
Quest’equazione di grado n-+-1 in p avrà n+1 radici. Nel caso più generale queste 
radici saranno tutte distinte e ciascuna di esse sostituita nelle (3) renderà questo 
sistema di equazioni atto a determinare un punto 4, cosicchè vi saranno in gene- 
rale n-+-1 punti uniti in un’omografia tra due spazi lineari sovrapposti ad n dimen- 
sioni. Ma potrà accadere che l’ equazione A (0)=0 abbia radici multiple e che alcune 
di queste annullino anche tutti i subdeterminanti di un certo ordine del determi- 
nante A (0). Poniamo ad esempio che la radice o’ annulli anche tutti i subdeter- 
minanti d’ordine n—A-+2 (e quindi anche quelli d’ordine superiore). Allora ponendo 
nelle equazioni (3) p="", è chiaro che esse formeranno un sistema % volte inde- 
terminato e determineranno quindi non un solo punto 4, ma uno spazio lineare 
ad h—1 dimensioni di punti uniti. Tutti i vari spazi lineari di punti uniti, che 
così corrispondono alle diverse radici distinte di A (0), e di cui alcuni potranno ridursi 
a punti isolati, si diranno spazi fondamentali di punti dell’omografia ('). 
(') Questa denominazione fu già usata in questo senso dal Veronese (loc. cit. pag. 115). 
