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8. A questi spazi fondamentali si può anche giungere nel seguente modo, 
che ci darà anche altri risultati. Consideriamo l’ omografia tra gli spazi S, S' definita 
dall’equazione bilineare 
(5) Axe1—pBxg = x (gi — pda); t,=0, 
i,k 
dove a g si dia un valor qualunque. È chiaro che ad un piano qualunque & di S' 
corrisponde con quest’ omografia nello spazio S un piano, che col variare di o de- 
scrive un fascio, avendo per due sue posizioni (corrispondenti a p=0 e o= 00) i due 
er 
piani &, corrispondenti a é' nelle omografie (1). Se si fissano ad arbitrio due 
valori qualunque per 0, le due corrispondenti omografie (5) determineranno colla loro 
combinazione un’ omografia in S, cosicchè si hanno in tal modo co? omografie in S. 
Diremo che la (5) rappresenta col variar di p un fascio di omografie tra gli 
spazi S, S'; e noi vediamo che questo fascio determina nello spazio S un complesso di 
assi di fasci di piani, ciascuno dei quali contiene tutti i piani corrispondenti ad un piano 
di S' rispetto alle omografie del fascio. L'equazione (5) mostra che questi fasci di 
piani corrispondono proiettivamente al fascio di omografie (cioè alla serie dei valori 
di p) e quindi anche tra loro. Scelti ad arbitrio in ciascuno di essi due piani 
corrispondenti a due determinate omografie del fascio, essi si corrisponderanno tra loro 
in una omografia di spazi sovrapposti ad S, la quale risulta dalla combinazione di 
quelle due omografie tra S, S'. 
9. Ciò posto proponiamoci di cercare tra le omografie del fascio (5) quelle 
che sono degeneri. Se per un determinato valore di pl’ omografia rappresentata dalla (3) 
è degenere di hesima specie, sarà (n. 3): 
AO | di — fdiy | =0, 
ed anzi del determinante A (0) si annulleranno anche tutti i subdeterminanti di (n—/h+4-2) 
esimo ordine. Abbiamo visto che una tale omografia singolare avrà nello spazio S 
uno spazio lineare singolare di punti P,_1, composto di tutti quei punti che sod- 
disfanno le equazioni 
> (Ga, — PDin) Go 
Confrontando colle equazioni (3) e (4) si vede dunque che ogni spazio fondamentale 
di punti dell’ omografia prima considerata tra punti 2, y dello spazio S, è lo spazio 
singolare di punti di una corrispondente omografia degenere del fascio (5). E che 
realmente un tale spazio singolare sia fondamentale per la omografia determinata 
in S dalla combinazione di due omografie qualunque del fascio (5) è chiaro, poichè 
tutte quelle co? omografie di S hanno evidentemente gli stessi punti uniti e quindi 
gli stessi spazi fondamentali. Ora se si prende un punto qualunque x dello spazio 
singolare dell’omografia degenere del fascio, corrispondente ad. un certo valore %' 
di 0, e se ne trova il corrispondente 2° in S' rispetto ad un’altra omografia qua- 
lunque 0, del fascio, a questo punto corrisponderà di nuovo « rispetto a quell’ omo- 
grafia degenere; cosicchè 2 sarà un punto unito della omografia risultante in S 
dalla combinazione delle omografie g' e p,, e quindi anche di tutte le 00° omografie 
considerate. 
