— 136 — 
questa schiera si hanno 00% omografie di spazi sovrapposti ad S, tra le quali starà 
appunto l’omografia prima considerata: queste omografie hanno gli stessi spazi fon- 
damentali di piani, e ogni raggio del complesso considerato taglia i sostegni di questi 
sistemi di piani in altrettanti punti formanti gruppi tutti proiettivi tra loro ed al 
gruppo delle radici dell’ equazione in r. 
Vedremo presto (n. 12, 18) quali legami passino tra le radici dell’ equazione 
in p e quelle dell'equazione in r, e tra gli spazi fondamentali di punti e gli spazi 
fondamentali di piani di un’omografia di due spazi sovrapposti ad S. 
11. Noi ci proponiamo ora di mostrare come si possano classificare le omo- 
grafie di spazi sovrapposti. A tal fine notiamo anzitutto che un’omografia qualunque 
nello spazio S di punti 7, può sempre in infiniti modi rappresentarsi con una coppia 
di equazioni bilineari : 
Soa =0, Ibpeagen=0, 
dove Je é, siano variabili qualunque ed una almeno delle due equazioni, per es. la 
prima, non abbia determinante nullo. In fatti questa coppia di equazioni equivale, 
come giù notammo, alle seguenti, in cui x, y indicano due punti corrispondenti: 
Zant=pIbirYi, 
i i 
e da queste si ottengono formule della forma 
ci=ZdanYis 
rappresentanti appunto un’ omografia. Viceversa un’ omografia qualunque tra punti x, y 
dello spazio S si può sempre porre, e in un sol modo, sotto quest’ ultima forma, e 
qui di si può in quel senso rappresentare colla coppia di equazioni 
Zig = 0g Ldn®;tx=0. 
Ora se in queste si fa per le variabili &, una sostituzione lineare qualunque, le 
equazioni così ottenute saranno della forma più generale 
Zon%ti=0, Sb xt ,=0, 
e rappresenteranno sempre la stessa omografia. 
Ma da questo fatto segue una conseguenza importante. Siano date due omo- 
grafie qualunque, l’una tra due spazi sovrapposti allo spazio S di punti x , l’altra 
tra due spazi sovrapposti ad uno spazio S; di punti z: esse si potranno rappresentare 
in infiniti modi con due coppie di equazioni 
Zax®;E,=0, bw Ey=0 
e TP 3i 0h gin Zi Che=0c 
Orbene la condizione necessaria e sufficiente affinchè si possa con un’ omografia tra 
gli spazi S ed S far corrispondere tra loro quelle due omografie, vale a dire affinchè 
queste sieno proiettivamente identiche, sarà, in virtù delle cose dette, che si pos- 
sano trasformare linearmente le x; nelle 2; e le €, nelle €, con due sostituzioni 
qualunque tali che la prima coppia di equazioni bilineari si trasformi nella se- 
conda coppia. 
Ora il Weierstrass ha dimostrato (‘) che la condizione necessaria e sufficiente perchè 
(') Zur Theorie der. bilincaren und quadratischen Formen (Monatsberichte der k. Akad. d. 
W. zu Berlin, 1868, 18 Mai, pag. 310, 338). V. pag. 325, 326. I 
