si possa effettuare questa trasformazione è che i divisori elementari del determi- 
nante | ax — pd; | coincidano con quelli del determinante | pix — 9 | . Dicendo 
e, 0, + @(#!) i gradi (in ordine decrescente di grandezza) dei divisori elementari 
| del determinante | @,,-=0b;, | corrispondenti ad una stessa radice p,, e chiamando 
caratteristica l'insieme di questi gradi così raggruppati: 
[ (ei ; e1 O Me Gt) O (62,0%, sn 09(0a71)) d 1006 (e, 508, 606 GA) 
noi divideremo le omografie in classiî a seconda dei loro corrispondenti raggruppamenti 
dei divisori elementari, vale a dire intenderemo ‘che due omografie siano della stessa 
classe quando hannò la stessa caratteristica. Ciò posto noi vediamo da quel teorema di 
Weierstrass, che una prima condizione affinchè due omografie di spazi sovrapposti 
siano proiettivamente identiche è che esse appartengano alla stessa classe. In secondo 
luogo poi le radici o dei due determinanti le quali corrispondono agli stessi gruppi 
di divisori elementari dovranno essere uguali; però siccome in una qualunque delle 
due coppie di equazioni si può moltiplicare l'una equazione per una costante senza 
alterare l’omografia rappresentata da quella coppia, così basterà affinchè le due omo- 
grafie siano identiche, che le radici corrispondenti di quei determinanti siano tra loro 
proporzionali. Ciò significa che all’omografia generale di una classe qualunque spetta 
un certo numero d’invarianti assoluti, i quali sono i rapporti mutui delle radici 
distinte del determinante corrispondente a quell’omografia: il numero degl’ invarianti 
assoluti distinti di questa è dunque dato dal numero delle radici (cioè dei gruppi 
di divisori elementari che compaiono nella sua caratteristica) diminuito di 1. La con- 
dizione necessaria e sufficiente affinche due omografie siano proiettivamente identiche 
sarà dunque: 1° che esse appartengano alla stessa classe , 2° che esse abbiano gli 
stessi valori per gl’invarianti assoluti. 
Quanto a questi invarianti assoluti di un’ omografia, risulta dalle cose viste che 
essi sono rappresentati geometricamente dai rapporti anarmonici che due piani corri - 
spondenti qualunque della omografia considerata determinano con quei piani del loro 
fascio, i quali proiettano gli spazi fondamentali di punti dell’ omografia (v. n. 9), 
perocchè questi piani corrispondono alle radici distinte p del determinante, mentre 
quei primi due piani corrispondono ai valori o==0 e o= co ('). 
(') Siano date nello spazio S due quadriche rappresentate dalle equazioni quadratiche 
x aiar =0, ® big %; 0 =0 (essendo ora dg= aki, bih=bki): risulta dai ragionamenti esposti 
che le polarità rispetto a queste quadriche dìnno, combinate tra loro, un’ omografia rappresentata 
dalle equazioni bilineari £ a;x 08, =0, S dix &;È'p=0 ed avente per conseguenza la stessa caratte- 
Vistica e gli stessi invarianti assoluti che quella coppia di quadriche. E siccome per un sistema dato 
qualunque di divisori elementari del determinante |@x— dix | si può sempre trovare una coppia 
di forme quadratiche corrispondenti Ya;xrirz, Zbixtirz (come mostrò il Weierstrass), così si può sempre 
trasformare le due equazioni rappresentanti un’omografia nelle equazioni delle polarità rispetto a due qua- 
driche, vale a dire: Ogni omografia di spazi sovrapposti si può sempre considerare come risultante dalle 
polarità rispetto a due quadriche convenientemente scelte (l’una delle quali sarà degenere se l’omografia è 
degenere), il cui sistema avrà la stessa caratteristica e gli stessi invarianti assoluti della data omografia. 
Questa proposizione ci pare assai importante; essa conduce facilmente al seguente risultato notevolissimo: 
La geometria projettiva di una coppia di quadriche coincide colla geometria projettiva di un’ omo- 
grafia di spazi sovrapposti, cioè di quell'omografia che risulta dalle polarità rispetto alle due qua- 
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