— 1358 — 
12. Siccome l’omografia rappresentata dalla coppia di equazioni bilineari 
I@pegtn=0 Tbpgeatpn=0; 
supposte di determinanti A, B non nulli vedemmo (n. 10) potersi pure rappresentare 
in modo correlativo colla coppia di equazioni bilineari aggiunte di quelle 
SA =0, 2Ba&ah=0, 
così si può domandare quali saranno la classe e gl’invarianti assoluti dell’omografia 
determinati ancora nel modo detto, ma facendo uso di quest’ ultima coppia di equa- 
zioni invece che della prima. Ora è-facile vedere che quella classe e quegl’ inva- 
rianti assoluti saranno ancora gli stessi, perocchè si ha identicamente eseguendo il 
prodotto di tre matrici: 
Bix Aj 
Pierani AI 
B Uik 
dix 
t) 
B;x! A;/y 
Z, dz! (? "na a G] n ) 
e notando che Xy' dx! By vale B oppure 0, secondo che è' è uguale o diverso da î, c 
x 
così che X; a; , A/' vale A ovvero 0, secondo che k' è uguale o diverso da &, diventa: 
B, Ai | 
| P ara AO dik | big |=|P0x+ dan|- 
Di qui segue immediatamente che i determinanti 
B; Di A; | 
PO + Qi | È) p n + q Tv | 
non solo sono identici, a meno del fattore AB indipendente da p,g, ma hanno 
inoltre gli stessi divisori elementari. Quindi realmente la caratteristica rappresentante 
la classe dell’omografia, considerata da questo punto di vista correlativo al primo, 
sarà ancora la stessa di prima; e quanto poi agl’invarianti assoluti avremo la seguente 
proposizione : 
Data un’ omografia qualunque non degenere di due spazi ad » dimensioni sovrap- 
posti, i suoi invarianti assoluti sono quelli del gruppo formato da due piani corri- 
spondenti qualunque e dai piani del fascio di questi i quali passano per gli spazi 
fondamentali di punti, ovvero quelli del gruppo formato da due punti corrispondenti 
qualunque e dai punti del loro raggio congiungente, posti sui sostegni degli spazi 
fondamentali di piani. Gli spazi fondamentali di punti e gli spazi fondamentali di 
piani formano due figure correlative, e vengono così a corrispondersi in modo tale 
che i gruppi di piani considerati sono proiettivi ai gruppi considerati di punti: in 
questa proiettività però ai due piani di ciascuno dei primi gruppi che si corrispon- 
dono nel 1° e nel 2° spazio, corrispondono rispettivamente nei secondi gruppi i due 
punti che si corrispondono nel 2° e nel 1° spazio. — Insomma si può dire più 
driche; tutto il sistema invariantivo della coppia di quadriche non è altro che il sistema invarian- 
tivo dell’ omografia, e viceversa. 
Quanto al significato geometrico della caratteristica e degl’ invarianti assoluti, che abbiamo in- 
contrato, di una coppia di quadriche, esso risulta subito dalle cose dette e risulta appunto quale 
noi l'avevamo dato nella nostra dissertazione di laurea già citata. 
