— 145 — 
i suoi caratteri sarebbero già noti senz'altro. Risulta in fatti dalle cose esposte che 
una tale omografia ha r spazi fondamentali di piani, risp. ad hx—1,h2—-1,... hi, 1 
dimensioni : gli spazi fondamentali di piani si costruiranno immediatamente mediante 
quelli di punti, dopo aver scelto questi ad arbitrio, notando che per es. il 1° spazio 
fondamentale di piani ha per sostegno uno spazio ad n—l,=h,+..+lh,—1 di- 
mensioni di punti, il quale è perfettamente determinato dal dover passare per gli spazi 
fondamentali di punti diversi dal 1°. In questo caso nessun sostegno di spazio fon- 
damentale di piani avrà punti comuni col corrispondente spazio fondamentale di punti. 
Glir—1 invarianti assoluti di quest’omografia si determineranno nel modo visto colla 
considerazione dei raggi che congiungono punti corrispondenti, ovvero degli assi d’in- 
tersezione di piani corrispondenti: tali raggi tagliano i sostegni degli spazi fonda- 
mentali di piani in r punti, che determinano coi 2 punti corrispondenti rapporti anar- 
monici uguali agl’invarianti assoluti, mentre quegli assi proiettano gli spazi fonda- 
mentali di punti con r piani, i quali determinano coi 2 piani corrispondenti presi 
inversamente quegli stessi rapporti anarmonici. Quelle coppie di punti corrispondenti 
si possono prendere su un sostegno di spazio fondamentale di piani, ma in questo 
modo coll’uso di un solo raggio si otterrà un invariante assoluto di meno. E cor- 
relativamente ecc. ecc. 
In particolare supponiamo r=2, cioè consideriamo l’ omografia avente per 
hi ha, 
nai => 
caratteristica |(1,1,..1) (1,1,...1)] (essendo f1+h,="+-1). Ai due gruppi di 
divisori elementari che in essa compaiono, corrispondano risp. le radici 01,2; allora 
a pi corrisponderà uno spazio fondamentale di piani, il cui sostegno (ad n—h,=h>—1 
dimensioni) dovrà contenere lo spazio fondamentale di punti ad %° —1 dimensioni 
che corrisponde a 0, e quindi coinciderà con esso; e similmente il sostegno dello 
spazio fondamentale di piani corrispondente a 0g coincide collo spazio fondamentale 
di punti corrispondente a 01. Vi sono dunque in questa omografia due spazi di punti 
risp. ad Ah —-1 e hg —1 dimensioni tali, che tutti i loro punti e tutti i piani pas- 
santi per essi sono elementi uniti dell’omografia. La congiungente di due punti cor- 
rispondenti qualunque taglia quei due spazi in due punti determinanti con quelli un 
rapporto anarmonico fisso (01:02), e l’asse d’ intersezione di due piani corrispondenti 
qualunque è congiunto a quei due spazi mediante altri due piani formanti con quelli 
lo stesso rapporto anarmonico fisso. Questa quantità costante (21:2) è l’unico inva- 
riante assoluto della omografia considerata ('). 
Dal teorema dimostrato si possono ancora trarre altri corollari. Se nella carat- 
teristica di una omografia vi è un gruppo composto di indici tutti maggiori di 1, 
allora il corrispondente spazio fondamentale di piani avrà un sostegno, nel quale sarà 
contenuto lo spazio fondamentale corrispondente di punti, e quindi saranno contenuti 
tutti gli spazi fondamentali di punti, cioè tutti i punti uniti della data omografia 
e correlat.). Un gruppo di divisori elementari tutti del 2° grado, cioè (2,2,...2) 
non ha appunto altro significato che questo; ma se nel gruppo entrano anche divisori 
(') Queste omografie sono appunto quelle che, come dicevamo sul principio, vennero considerate 
dal sig. Veronese (loc. cit. pag. 114, 115) sotto il nome di collineazioni. 
