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elementari di grado superiore al 2°, si ha un'ulteriore particolarizzazione nella figura 
formata dagli spazi fondamentali e questa particolarizzazione si trova appunto appli- 
cando il teorema generale. 
In particolare ad un gruppo composto di un solo indice >1 corrispondono un 
solo punto unito ed un solo piano unito dell’omografia, i quali stanno l’ uno sull’altro, 
sicchè quel piano contiene tutti i punti uniti di questa e vi è su esso un’omografia 
avente la caratteristica differente da quella dell'omografia data solo per la diminu- 
zione di un’ unità all'indice considerato. 
Il sostegno di uno spazio fondamentale di piani coincide col corrispondente spazio 
fondamentale di punti solo quando, » essendo impari, si ha l’omografia avente per 
3(n4-1) 
caratteristica [(2,2,...2)]; questo caso si ottiene del resto facendo coincidere le due 
(0-41) 4(M41) 
radici del caso [(1,...1) (1,...1)]. 
Infine noteremo che coi vari teoremi da noi trovati si possono avere immedia- 
tamente tutte le particolarità di ogni data omografia, e quindi classificare le omo- 
grafie di spazi sovrapposti a quante si vogliano dimensioni, come vedremo ora su esempi. 
III 
19. Applicheremo le cose esposte nella 2° parte al caso in cui il numero n 
delle dimensioni dello spazio lineare considerato si riduca a 2 od a 3 ('). Così otter- 
remo le omografie non degeneri di due piani o di due spazi ordinari sovrapposti (*). 
I casi che presenta un’omografia di due piani ordinari sovrapposti sono i5 seguenti. 
(111). Questa è l’omografia generale: essa ha 3 rette e 3 punti uniti, cor- 
rispondentisi in modo che ogni retta unita passa pei due punti uniti non corrisp)n- 
denti. Vi sono 2 invarianti assoluti: i gruppi formati da 2 punti corrispondenti 
(') Le omografie di due spazi sovrapposti ad 1 dimensione, p. e. di due punteggiate ordinarie 
sovrapposte, non possono presentare che due casì : V° omografia [11] con due punti uniti distinti ed 
un invariante assoluto (il rapporto anarmonico di questi punti uniti con due punti corrispondenti 
qualunque), e l’omografia [2] coi due punti uniti coincidenti e priva d’invarianti assoluti. — Aggiun- 
giamo che benchè sopra non si parli che di omografie non degeneri, come quelle che sono più 
importanti, sarebbe facile classificare anche le omografie degeneri, bastando per ciò ricordare le 
proprietà generali di queste omografie viste nella prima parte e avvertire che la caratteristica e gli 
spazi fondamentali di un’ omografia non degenere appartengono pure come tali ad omografie degeneri, 
ciascuna delle quali ha per spazio singolare di punti e per spazio singolare di piani una delle coppie 
di spazi fondamentali di punti e di piani. 
(@) Mentre il presente lavoro si stava stampando, ci venne fatto per caso di trovare ‘che il 
Cayley aveva già pensato fin da trent'anni sono ad applicare quello che ora chiamiamo metodo dei 
divisori elementari alla classificazione delle omografie. In fatti egli finiva la sua nota « Recherches 
sur les Matrices dont les lermes sont des fonctions linéaires d'une seule indéterminée » (Crelle’s Journal, 
Bd. 50, pag. 313-7) enunciando come tutta la teoria delle omografie di un piano dipenda dai divi- 
sori elementari di un determinante, e come vi siano da considerare (oltre al caso dell'identità) i 5 
casi che noi appunto esamineremo (e solo incorreva in un’inesattezza dicendo che il nostro caso [21], 
e non il caso [(11) 1], è quello dell’omologia). Egli si proponeva di ritornare più tardi su questa 
teoria; ma in fatto non vi ritornò più. 
