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Sul prodotto di due soluzioni 
di due equazioni differenziali lineari omogenee del second’ ordine. 
Memoria del prof. DAVIDE BESSO 
approvata con relazione al Presidente 
nelle ferie accademiche dell’anno 1883-84. 
In questo scritto, premesso un cenno sul prodotto di soluzioni di più equazioni 
differenziali lineari omogenee, sono esposte delle proprietà dell’ equazione differenziale 
lineare omogenea del quart’ ordine, soddisfatta dai prodotti delle coppie di soluzioni 
di due equazioni differenziali lineari omogenee del second’ ordine ('). 
I. 
1. Sieno date m equazioni differenziali lineari omogenee, rispetto alla stessa 
variabile, degli ordini rispettivi n1, 2, ...m, e sia: 
i W=y2u... (2) 
il prodotto di »m soluzioni delle m equazioni, cioè d’una soluzione della prima, 
per una della seconda, ecc. Formando le successive derivate di questo prodotto, ed 
eliminando le derivate di ciascuna delle m funzioni d’ordine eguale o maggiore di 
quello dell’ equazione differenziale corrispondente, si otterranno delle equazioni lineari 
rispetto ai prodotti della forma: 
il numero dei quali è: 
h=nNg.. Nn 1. 
Perciò, formando % derivate della (a), si avrà un sistema di & equazioni lineari 
il quale permetterà, in generale, di determinare quelli & prodotti, ed è chiaro ch’ essi 
risulteranno funzioni razionali di W, dei coefficienti delle equazioni differenziali e 
di alcune derivate di queste funzioni. Ora, fra le quantità che in tal modo si pos- 
sono determinare, sono i prodotti di m—1 delle m funzioni y, 2, «... per la derivata 
prima dell’ 7° dividendo ciascuno di questi prodotti pel prodotto W si otterranno 
le derivate logaritmiche delle m funzioni. Dunque: 
Dato il prodotto W, le derivate logaritmiche delle m funzioni 
(') Questa classe d’equazioni, ed altre aftini, sono state per altre vie investigate dai signori Goursat 
e Halphen. Veggasi la Nota del primo: Sur une classe d'équations lineaires du quatrième ordre, e 
quella del secondo: Sur quelques équations differentielles lintaires du quatrième ordre, ambedue nei 
Comptes rendus des sgances de l’Acadgmie des sciences, anno 1883. 
