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Y, 23%, ... sì possono, in generale; esprimere razionalmente mediante W, 
i coefficienti delle equazioni differenziali, ed alcune derivate di 
queste funzioni. 
2. Formando h+1 derivate della (x) si ottiene un sistema di h-+1 equazioni 
lineari mediante il quale si possono eliminare gli & prodotti: y0) zl «w%.... Il 
risultato di quest’ eliminazione è, in generale, un'equazione differenziale lineare 
omogenea, rispetto a W, dell’ ordine: 
h+1= Nj N93... Mn} 
dunque: 
Il prodotto W soddisfa, in generale, ad un’ equazione differenziale 
lineare omogenea dell’ ordine n; n... nn, i cui coefficienti sono 
funzioni razionali di quelli delle equazioni differenziali date e di 
alcune loro derivate. 
TUO 
3. I prodotti delle coppie di soluzioni di due equazioni diffe- 
renziali lineari omogenee del second’ordine soddisfanno ad un’ equa- 
zione differenziale lineare omogenea del quart’ ordine, i cui 
coefficienti sono funzioni razionali di quelli delle due equazioni 
del second’ordine e di alcune loro derivate, purchè queste due 
‘equazioni non abbiano la proprietà che il quoziente di due solu- 
zioni dell’una sia eguale al quoziente di due soluzioni dell’altra. 
Sia: 
yz = 
il prodotto d’una soluzione della : 
yi + py + gy=0 (4) 
per una soluzione della: 
24 p2' + q3= (0) 
Colle sostituzioni : 
DEE ZA Pa 
2 Ù 9 , 
enni t, nante. 
le (a) (0) si trasformano nelle: 
Y'4pY=0 (a') 2'+pZ=0 (0) 
le quali sono distinte quando il quoziente di due soluzioni della (a) non sia eguale 
al quoziente di due soluzioni della (0), e soltanto in questo caso. 
Ciò premesso, derivando la : 
VZIENUR 
ed eliminando le derivate d’ordine superiore al primo per mezzo delle (a') (0'), si 
ottengono le: 
YL4YViZ= VU 
2Y 2'=U"+ yU 
— 20 YZ — 2o,Y 4= UU" yU 4 v'U 
— 2p' YZ! — 20 ,Y'A—-2vY' 2 — UN+ yU"4- 2y'U'4- (V° — y® +-0%) U 
