nelle quali : 
v= pt? OZ 
Coll’ eliminazione dei tre prodotti: 
VA EA, VET, 
si ottiene l’ equazione: 
UN Ue vu (80 2 )v4(v4o JET — 1001 
la quale, postovi: 
I f(p+p,)dx 
T= gf) u, 
si trasforma in una equazione differenziale lineare omogenea del quart’ordine, rispetto 
alla funzione w, i cni coefficienti sono funzioni razionali di p, 4, ?1, 918 loro derivate. 
_ 4. Nell'ipotesi del teorema precedente le derivate logaritmi - 
che d'una soluzione della (a) e d'una soluzione della (0) sono fun- 
zioni razionali del prodotto di queste due soluzioni, dei coeffi- 
‘cienti delle due equazioni differenziali e di alcune derivate di 
queste cinque funzioni. 
Dalle precedenti equazioni sì ricava: 
20-=2(L+3p )>-p-®-9% 
NOVA a 1 ) ene (of ; 
20 7 =25(4 tai 2] ar (MR LA 
e queste provano che i rapporti Li sono funzioni razionali di %,p, 4, P1, 9%, 
e di alcune derivate di queste cinque funzioni. 
5. L'equazione del quart’ordine ammette delle soluzioni che 
non sono prodotti d'una soluzione della (a) per una soluzione 
della (0). 
Indicando con y1,Y, due integrali fondamentali della (a) e con z;, za, due inte- 
grali fondamentali della (0), l'equazione del quart’ ordine è soddisfatta dalle quattro 
funzioni : 
Un, =Y,31, U, =%Y152, Uz==Y2Z1 ; Un =Y232, 
le quali costituiscono un sistema d’ integrali fondamentali. Infatti, se avesse luogo 
una relazione della forma: 
au: + bu, + cug 4- du, = 0 
le a, bd, c, d significando costanti, sarebbe: 
azit bzg Ya 
CAsda DI VAS 
cioè il quoziente di due soluzioni della (6) sarebbe eguale al quoziente di due solu- 
zioni della (a). 
Ma affinchè la: 
au, + du, + cug + duj 
si possa mettere nella forma: 
(2/1+ By) (a1z1+ B1 32) 
