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le costanti a, 0, c, d devono verificare la relazione: 
ad — be=0. 
E questa condizione è anche sufficiente. 
6. a) I prodotti delle coppie di soluzioni delle (a) (d') sod- 
disfanno all’equazione differenziale non lineare: 
(U”"+ (2v+0)0'+v U) (U”"+ (v—-) U'4+yU)+202U(U"-yU)—0 li 
E) Ogni soluzione comune all’ equazione lineare I ed al. 
l’equazione non lineare II è il prodotto d’una soluzione della (a) 
per una soluzione della (0). 
a) Moltiplicando fra loro le due equazioni del n. 4 si ottiene la II, che è 
soddisfatta dai prodotti delle coppie di soluzioni delle (a) (0). 
£) Risulta dal numero precedente che, indicando con Yi, Ya due integrali 
fondamentali della (a') e con Zi, Z» due integrali fondamentali della (0°), ogni so- 
luzione della I ha la forma: 
U=aYiZ:+dbY, Zy4-cYyZ1+dYy Za, 
ossia: 
U=Y1v14 Ya Va (0) 
in cui Y1, ve significano due soluzioni della (0'); e che, se queste sono legate dalla: 
Vita Va=0, 
quella soluzione della I è il prodotto d’una soluzione della (@') per una soluzione 
della (0). Ciò premesso, derivando la (c) si ottengono successivamente le: 
(La 914 Via da) + (04 Ya 4 ya Yo) = U (01) 
2 (Yi VU, Vea va) = ULSS yU (ca) 
— 201 (Vati + Yad) — 20(ViYa1+%aY)=U"+yU+yU (63) 
Dalle (ci) (cz) risulta: 
20 (Yi bh + Yad) = — U”— (2y—-0)U—y U, 
20 (Vi Yi+ Va Yo) = U"+ (2v+0)U+Y U, 
e quindi: 
4g (YL'i di + Y"2 42) (Vi Yi+VaYa)=—(U+ (2-0) U+y U) (U"+(2v—c)U+yU) 
Ora se la U, soluzione della I, soddisfa alla II, si avrà, in forza delle (d) (ca): 
(Lava tV) (Vi Ya Yi Ya)=0, 
e, per essere diverso da zero il secondo fattore, si conchiuderà che quella U è il 
prodotto d’una soluzione della (a') per una soluzione della (0'). 
7. Trovare una relazione fra i coefficienti dell’equazione dif- 
ferenziale lineare omogenea del quart’ordine, che è soddisfatta 
dai prodotti delle coppie di soluzioni di due equazioni differen- 
ziali lineari omogenee del second’ ordine. 
Suppongasi che l’ equazione : 
UN + Pu” + Qu” + Ru' + Su=0 (1) 
sia soddisfatta dai prodotti delle coppie di soluzioni delle : 
a'+ ra 4+sa=0 (2) else (3) 
Colle sostituzioni: 
—! (Pax —1 (Pax DE —3 (Pax 
m=@ 9, =@ 5 e=o 8“ 8, 
