Dalle tre equazioni (23) (24) (25), per essere la (1,1) diversa da zero ('), 
risulta la: 
ANIERIRO 
Ag Ba @ =0 (29) 
AGUIRRE 
che dev’ essere soddisfatta dai coefficienti della (1°); quando sia eguale a zero una 
forma quadratica di tre o di quattro sue soluzioni linearmente indipendenti (?). 
12. Se una forma quadratica di quattro integrali fondamentali 
della (1'), sia eguale a zero, e se inoltre le quantità ), L e T, defi- 
nite dalle (13) (15) (18) sieno diverse da zero, la (1’)) è soddisfatta 
dai prodotti delle coppie di soluzioni di due equazioni differen- 
ziali lineari omogenee del second’ ordine. 
Dalle (26) (27) si ricava con facili calcoli : 
ABj1— AB =— 25M (30) 
BC, _ BC i 25L 
in cui L ed M sono definite dalle (15) (16). Perciò posto: 
A==(AC1-A10) (BB',—B;B')+(BA,—B;A) (BC—B;0')+-(CBx—C;B)(BA'1—-B;A'), 
sarà: 
1 
625 
e, indicato con Q il primo membro della (17), tenendo presenti le (26), si troverà: 
ML —M'L= A; 
6250 = si BA + SI B (AB; — AB)? + C(AB,| — A;B)(BC, — B10) + 
na I (A — BQ;) (BC — B;0)?. 
Se ora si trasforma la A eliminando le A', B', C', An, B1, 04, mediante le 
(27) (28), e s’indica con D il primo membro della (29), si trova : 
A—BD—2(4B; —AxB)°+7 (BC —B:0)(Q (BE —B:0)+(CA1—C;4)). 
e, sostituendo nella precedente espressione di Q: 
6250= È. 1052.)?D. (31) 
Da questa risulta che, se la (1'), ammette quattro integrali fondamentali tali 
che una loro forma quadratica sia eguale a zero, nel quale caso è soddisfatta la (29), 
deve pure verificarsi la (17); e, in forza del teorema (8), si conchiude che, se le 
quantità X, L e T sieno diverse da zero, la (1’)1 è soddisfatta dai prodotti delle 
coppie di soluzioni di due equazioni differenziali lineari omogenee del second’ordine. 
(') Cfr. il n. 2 della Memoria: Sul prodotto di più soluzioni d'un’ equazione differenziale lineare 
omogenea ecc. (Atti della R. Accademia dei Lincei, Vol. XIV). 
(*@) In relazione alla nota a pag. 224, si può osservare che la (29) è soddisfatta quando le fun- 
zioni A e y. sono ambedue eguali a zero, nel quale caso la (1’), possiede quattro integrali fondamen- 
tali v,, 2, 03, v,y legati dalle relazioni : 
Vv — vv =0, Vai — Vev,=0. 
