— 99 — 
per l’ipotesi fatta, sarà diverso da zero, epperciò esisterà un’ equazione differenziale 
lineare omogenea dell’ordine n—1, soddisfatta dalle n— 1 funzioni %1, Ya. ---Yn_1, 
ed è chiaro ch’essa sarà soddisfatta anche dalla y,. Sia: 
y)— Si y07® — Sa yin73) =... — Soy — S,_1y=0 II 
l’equazione differenziale di cui si tratta. Il coefficiente S, è una frazione avente a deno- 
minatore il determinante A, e, per numeratore, quel determinante che si deduce dal 
determinante A sostituendo agli elementi della linea »"% le derivate (n — 1)"° delle 
m-—1 funzioni. Queste frazioni si possono trasformare ponendo, in luogo del deno- 
minatore, il determinante: 
n—2 2) 
5 VE; go 
—3) a n=3 n—-3 
Y UE cone i ge 
VAC IVO ag oe SIRO 
IM OB 9 po USANO 
1 IR 1 
e, al posto dei numeratori, i determinanti che si deducono da questo colla sostitu- 
zione indicata; moltiplicando poi i due termini di ciascuna frazione pel determinante 
denominatore, è chiaro che gli elementi dei nuovi determinanti saranno della forma: 
Sy) y0®, 
in cui il simbolo Y si riferisce a tutte le radici della (I). 
Ora le derivate d’una radice della I sono funzioni razionali di questa radice, 
dei coefficienti della I e d’aleune loro derivate, epperciò è chiaro che le somme: 
Sy) y®) a 
sono funzioni razionali dei coefficienti della I, di loro derivate, e delle radici della 
stessa I, e, rispetto a queste, simmetriche. 
Dunque i coefficienti dell’equazione differenziale II sono funzioni razionali dei 
coefficienti dell'equazione algebrica I e di loro derivate. 
2. Dalla precedente dimostrazione risulta un metodo pel calcolo dei coefficienti 
dell’equazione differenziale II, il quale, in generale, non è il più opportuno. Ma, sia 
pel calcolo delle somme xy 4, come per quello delle somme xy y”, che pos- 
sono pure essere utilmente applicate ai calcolo dei coefficienti dell’equazione differen- 
ziale, ed anche in alcuni casi particolari nei quali si può giungere direttamente alla 
equazione differenziale, è di valido aiuto un teorema dovuto a Brioschi (*), in forza 
del quale, indicando con s, la somma delle potenze r"° delle radici della I, con F' 
la derivata del primo membro della I, considerato quale funzione dei soli coefficienti, 
(') Intorno ad alcune formole per la risoluzione delle equazioni algebriche. Annali di scienze 
matematiche e fisiche, tomo quinto. 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE ecc. — MeMorIE — Vor. XIX°. 30 
