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possono scegliersi a piacere nei rispettivi periodi, si presenta naturalmente la que- 
stione di ricercare come si possano scegliere le Gs, G3,...,G, affinchè l’ordine del 
gruppo [Ga,G3,...,G) da esse generato sia il minimo possibile. In ciò che segue 
noi perverremo alla soluzione di questa questione in modo abbastanza semplice, ba- 
sandoci sopra alcuni teoremi già noti, e vedremo che questi gruppi di ordine minimo 
hanno un carattere comune indipendente dalla natura dei gruppi G ed H che li 
determinano. - 
2. Anzichè occuparci delle sostituzioni generatrici Gg, G3,..., Gu, possiamo ad- 
dirittura riferirci al gruppo T da esse generato. È chiaro primieramente che esso 
conterrà sostituzioni di ciascuno dei w periodi (1), ma non conterrà poi alcun gruppo 
parziale che goda di questa stessa proprietà, poichè altrimenti esso non sarebbe di 
ordine minimo. È poi facile vedere che l’ordine di T' sarà un multiplo di 1, poi- 
chè ognuno dei periodi (1) deve contenere lo stesso numero di sostituzioni di T. 
Infatti se: 
TI 9 T2 9, cose, Tn 
0, 9, sr009 Om! 
sono rispettivamente le sostituzioni che il gruppo T ha in comune con due periodi 
diversi, ricordando che le sostituzioni di uno stesso periodo di G moltiplicate per 
una stessa sostituzione qualunque di G riproducono sempre quelle di un periodo 
di G, si vede che le sostituzioni: 
io i ehe eeeh da o Va ti 19, 
che appartengono a T, apparterranno ad uno stesso periodo di G; ma la prima di 
esse è: 
Ba Cio di == Di 8 
dunque esse sono tutte comprese fra la 0,,9,,...,9,/ onde m'=m e, similmente 
potendosi stabilire che m=wm/, deve essere m' =m. L’ordine di T è dunque dato 
da m.g, dove m è l’ordine del gruppo Ty formato dalle sostituzioni comuni ai due 
gruppi T ed H. Il nostro problema coincide dunque in sostanza con quello di de- 
terminare i gruppi parziali I che contengono sostituzioni di ogni periodo di G e 
tali che l’ordine m del gruppo comune a T e ad H abbia il minimo valore possi- 
bile. Una volta dato il gruppo I si potranno scegliere le generatrici 1, G,, G3,...,G, 
in un modo qualunque fra le sostituzioni di T, purchè se ne tolga una da ciascun 
periodo di G. 
3. Se p è uno dei fattori primi dell’ordine y del gruppo H, e pz la più alta 
potenza di p che divide y, è noto che esistono in H dei gruppi parziali Py, Pi, Pa, «.. 
di ordine p” ('). Essi si ottengono tutti da uno di essi, ps. da Po, trasformando 
P, con le sostituzioni di H, cosicchè si potrà sempre porre: 
= heel io (2) 
(') In altro lavoro (Sopra l’ismorfismo dei gruppi di sostituzioni. Giornale di Mat. Tom. XVI) 
abbiamo stabilito in modo diretto questo teorema per mezzo di considerazioni di isomorfismo ignorando 
che il signor Sylow vi era giunto prima di noi (Math. Annalen. Tomo V), basandosi sopra il teorema di 
Cauchy che un gruppo di sostituzioni il cui ordine è divisibile pel numero primo p contiene almeno 
una sostituzione di ordine p. Approfittiamo pertanto della presente occasione per riparare alla mancata 
citazione del nome di questo autore. Per le dimostrazioni rimandiamo anche all'opera del sig." Netto: 
Substilutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra. Leipzig, 1882. 
