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dove /', h",... sono sostituzioni di H. Indichiamo con II il gruppo composto da 
tutte quelle sostituzioni di G che trasformano in se stesso il gruppo Po. Dico che 
ogni periodo di G ha in comune con II qualche sostituzione. Consideriamo infatti 
un periodo qualunque: 
Cigo CialMo ovo g Ci 10, (9) 
e trasformiamo Py per mezzo della sostituzione G;. Poichè G,; trasforma in se stesso 
il gruppo H, che per supposto è permutabile a tutte le sostituzioni di G, essa tra- 
sformerà il gruppo Py, che appartiene ad H, in un gruppo G,! PG; del pari con- 
tenuto in H. E come questo nuovo gruppo è ancora dell’ordine p”, esso farà parte 
della serie Po, P1;...; Sia ps.: 
G,;! Po Ga È 
Per le (2) si avrà allora: 
G! Po Gi = AO) Pi hl) 
onde anche: 
ROC er 40 = 
il che può anche scriversi: 
(G, hl) vt of (G; hic) I) 
Il gruppo P, è dunque trasformato in se stesso dalla sostituzione G,/(27 la 
quale fa parte evidentemente delle sostituzioni (3) che compongono l’ è"° periodo. 
Resta così dimostrato ciò che si era asserito, e, se v' è l’ordine del gruppo ITp for- 
mato da tutte le sostituzioni di H che trasformano in se stesso il gruppo Po, si 
conclude che ogni periodo di G contiene appunto y' sostituzioni che del pari tra- 
sformano Py in se stesso. Così resta stabilito che in generale esistono sempre dei 
gruppi parziali contenuti in G e contenenti sostituzioni di ogni periodo di G, poi- 
chè il gruppo II non potrebbe coincidere con l’intero gruppo G che quando il gruppo 
II) coincidesse con l’intero gruppo H, cioè nel caso particolare in cui Py fosse tra- 
sformato in se stesso da tutte le sostituzioni di H, 0, che è lo stesso, nel caso in 
cui H contenesse un solo gruppo di ordine p*. 
Se si verifica questo caso, si potrà partire invece da un gruppo Q, di ordine di, 
e se H contiene altri gruppi di ordine gf, si concluderà come sopra che il gruppo 
formato dalle sostituzioni di G che trasformano in se stesse Q, è di ordine inferiore 
a quello di G e contiene sostituzioni di ciascun periodo di G. Così procedendo si 
viene a stabilire il seguente teorema: esiste sempre qualche gruppo par- 
ziale di G che contiene sostituzioni di tutti i periodi di G, tutte 
le volte che il primo periodo H contenga almeno due gruppi di- 
stinti aventi per ordine la massima potenza di un certo numero 
primo. 
Di qui segue che, se T è uno dei gruppi di ordine minimo che soddisfano al 
problema, il gruppo T, conterrà un solo gruppo avente per ordine la massima po- 
tenza possibile di ogni numero primo, poichè se ciò non fosse esso conterrebbe un 
gruppo parziale di ordine inferiore che del pari soddisferebbe al problema. 
4. Se un gruppo G non è composto esclusivamente di sostituzioni di classe pari 
(che equivalgono ad un numero pari di trasposizioni), possiamo prendere per H 
il gruppo formato dalle sole sostituzioni di classe pari, che sarà evidentemente 
