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permutabile a tutte le sostituzioni di G. In tal caso il gruppo G si comporrà soltanto 
di due periodi, dei quali il primo è il gruppo H ed il secondo è formato da tutte 
le sostituzioni di G che sono di classe dispari, cosicchè se y= p°. g'.... è l'ordine 
di H, quello di G è dato da 2.p”. gf... Consideriamo uno dei gruppi P di or- 
dine p7 contenuti in H. Per il teorema del numero precedente, il gruppo II formato 
dalle sostituzioni di G che trasformano P in se stesso, contiene sostituzioni di entrambi 
i periodi onde il suo ordine è dato da 2.p”.k, dove è un numero intero. Poichè 
ora l’ordine del gruppo II è divisibile pel fattore primo 2, esso conterrà necessa- 
riamente, pel teorema di Cauchy, almeno una sostituzione di second’ordine. Se in- 
dichiamo tale sostituzione con ®, si avrà: 
Hei, @OTRO=P 
‘onde si vede facilmente che, se il numero p è diverso da 2, l’ordine del gruppo 
[@, P] generato dalla combinazione di © colle sostituzioni di P è precisamente 2. p”. 
Dunque: 
Se le sostituzioni di un gruppo G di ordine 2.p”.qî... non 
sono esclusivamente di classe pari, esistono sempre in G dei 
gruppi parziali degli ordini 2p”,2pf,... 
II 
5. Indichiamo con JI; l’insieme delle sostituzioni che il gruppo parziale II, 
costruito come sopra, ha in comune coll’ è"° periodo di G. I due gruppi G e Il 
sono isomorfi in quanto ai periodi (1) di G si facciano corrispondere ordinatamente 
ì periodi: 
Io , Il, 000000 È Ilya (2) 
di Il. Se ora fra i fattori primi che dividono l’ordine di IT, ne esiste almeno 
uno la cui più alta potenza rappresenti l’ordine di due o più gruppi parziali di IT, 
si potrà partendo da essa ragionare sui due gruppi IT e II, precisamente come si 
è fatto sui gruppi G ed H, cioè dimostrare che in II è contenuto un gruppo par- 
ziale Il che contiene sostituzioni di ognuno dei periodi (x). Chiamando IT, l in- 
sieme delle sostituzioni che IT ha in comune col periodo II,, si avrà che i due 
gruppi Il e IT sono fra loro isomorfi in quanto ai periodi (x) del primo si fac- 
ciano corrispondere ordinatamente i periodi: 
IO fio vi Me (8) 
del secondo. Così si potrà procedere finchè si giunga ad un gruppo Q composto 
di p. periodi: 
Lo, O, SOCCORO Qui 
isomorfo a ciascuno dei gruppi precedenti e tale che il gruppo Q, contenga un solo 
gruppo parziale che abbia per ordine la più alta potenza possibile di ogni fattore 
primo. A ciò si giungerà certamente, poichè gli ordini dei gruppi G, II, IT,... 
sono decrescenti, e soltanto si potranno presentare due casi cioè: 
1° il gruppo O, si compone dell’ unica sostituzione 1; in tal caso i periodi 
A, Q1,... si riducono a semplici sostituzioni 1, ws, 3, ......, 0, che costituiscono 
un gruppo isomorfo oloedricamente a G e contenuto in esso, ogni sostituzione @, 
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