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a cominciare dal primo periodo Q,. Ma allora il gruppo J' che corrisponderebbe 
ad J nell’isomorfismo tra G ed Q si comporrebbe di altrettanti periodi di G a co- 
minciare dal primo periodo H e sarebbe permutabile a tutte le sostituzioni di G 
senza coincidere con esso, il che è contrario al supposto. Pertanto il numero u sarà 
anche fattore di composizione di Q ed allora tutti gli altri fattori di composizione 
di Q saranno numeri primi, poichè essi devono coincidere coi fattori di composi- 
zione di Q,. Possiamo dunque enunciare il teorema: 
Seuè uno qualunque dei fattori di composizione di un gruppo 
qualunque G, esiste sempre in G un gruppo parziale che ha per 
primo fattore di composizione il numero v e di cui gli altri fattori 
di composizione sono tutti numeri primi. 
Nella dimostrazione data ora il numero p. si supponeva essere il primo fattore 
di composizione di G, ma ciò non è essenziale, poichè se esso non fosse il primo 
rispetto a G, sarebbe evidentemente il primo rispetto ad un certo gruppo G' con- 
tenuto in G, cosicchè allora basterebbe considerare in luogo di G il gruppo G' e 
sempre si avrebbe un gruppo Q' che gode della proprietà enunciata e che sarebbe 
contenuto in G' e quindi anche in G. 
8. Per proseguire nell’ analisi dei gruppi Q, indichiamo con P, Q, R,... i 
gruppi parziali contenuti in Q, aventi per ordine rispettivamente le più alte potenze 
pi q/3 ri» dei fattori primi di m. 
Indichiamo inoltre con: 
To Eno Liga ono 
Qi Qa, 3, 2000 
RA Rag, R3, v009 
le sostituzioni di questi gruppi rispettivamente. Poichè Q è il solo gruppo del suo 
ordine contenuto in Q,, si ha qualunque sia l’indice è: 
PE, QP,.—Q 
e quindi qualunque sia l’ordine j, per un certo valore corrispondente dell’ in- 
dice J', si avrà: 
ona Q; lg = Q; 
onde: : 
Q,P,= P, Qj !e (4) 
D'altra parte, poichè anche P è unico del suo ordine si ha: 
Oral P Q; = 
onde la sostituzione P; potrà mettersi sotto la forma: 
P,= QQ P/Q; 
per un certo valore dell’indice e. Di qui si ha: 
Q,P,=P/Q; 
e confrontando con la (4): 
tea Q/ = P; Qi 
Questa eguaglianza può anche scriversi: 
Pini P. = Q; Qi 
