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dove ora il primo membro è evidentemente una sostituzione di P, nel mentre che 
il secondo membro è una sostituzione del gruppo Q. Ma i due gruppi Pe Q, avendo 
rispettivamente per ordini delle potenze dei due numeri primi distinti p e g, non 
possono avere in comune alcuna sostituzione all’infuori dell’unità. Si ha dunque 
necessariamente : 
pirai pra Q; Q;71 al 
onde: 
Pi=P, Q=0Q;. 
Sostituendo ciò nella (4) essa prende la forma: 
Q; Eri Rh: Q; (5) 
ed è valida per valori arbitrarî dei due indici è ed j. i 
Notiamo così di passaggio il teorema più generale, la cui dimostrazione è in 
sostanza contenuta in quella ora data; se due gruppi qualisivogliano non 
hanno in comune alcuna sostituzione fuori dell’unità ed ognuno 
di essi è trasformato in se stesso da tutte le sostituzioni del- 
l’altro, dovrà necessariamente ognisingolasostituzione del primo 
essere permutabile ad ogni singola sostituzione del secondo. 
Similmente si avrà, qualunque siano gli indici è ed j, 
" P; x P; R; (5) 
jQ= Qi R, 
ecc. ecc. 
Da ciò si vede facilmente che le p”- csc sostituzioni di Q, sono tutte com- 
prese nel tipo: 
E, 00, Ric (6) 
da cui si ottengono facendo variare gli indici è, i, î3,.... rispettivamente fra 1 
ep”, fra 1 e q8, fra 1 ed r,... in tutti i modi possibili. 
Epperò ogni eguaglianza della forma: 
PARO ERA AMO RR 
si risolverà necessariamente nelle singole eguaglianze : 
= , O_O . Ri, = Bj: 1000 
9. Di qui segue inoltre che ogni gruppo parziale Q", contenuto in Q, gode delle 
stesse proprietà di Q,. 
Sia infatti p°” gg” 2"... l'ordine di O). Si deve mostrare che Q', contiene un 
unico gruppo di ordine p“”, cioè il gruppo formato delle sostituzioni comuni ad O 
ed al gruppo P. Sia invero 7 una sostituzione qualunque di un tale gruppo, cosicchè 
essa avrà necessariamente per ordine una semplice potenza p" del numero primo p. 
Poichè essa appartiene per supposto ad Q'y e quindi anche ad Q, potrà porsi, pel 
numero precedente, sotto la forma: 
(3 IV O 1500 (7) 
onde innalzando i due membri alla potenza & e considerando che i fattori P;1, Q.2, 
R;3,... sono fra loro permutabili, 
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