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Ma pel numero precedente una stessa sostituzione non può rappresentarsi che 
in un sol modo sotto la forma (6); deve dunque aversi: 
P'=1, QUa1, R'=1,.. 
e poichè le Q;,, R;3,... sono di ordini primi con p, esse saranno necessariamente 
di ordine eguale all’unità cioè: 
Qresdo Ria 
onde la (6) si riduce a: 
im = dî, 
La sostituzione x appartiene dunque al gruppo P come dovevasi dimostrare. 
gni 
Similmente si dimostrerà che Q°, contiene un solo gruppo di ordine g?", un 
solo gruppo di ordine r?”, ecc. 
III. 
10. Ci proponiamo ora di dimostrare un’altra proprietà di cui godono esclusi- 
vamente i gruppi del tipo Q,, la cui importanza si manifesta specialmente per le 
funzioni relative a tali gruppi. Ricordiamo a tale oggetto alcune definizioni e teo- 
remi noti ('). 
Siano %1, Za, +.-3 Xn, n Variabili indipendenti, che possono sempre considerarsi 
come le n radici di un’equazione: 
4 ee + er o +... +0, = 0. 
Due funzioni razionali: 
IE (ER ee] IDE 56) 
si dicono della stessa specie se ognuna di esse può esprimersi identicamente 
in funzione razionale dell’altra e delle ci, ca, ..., €», e l’insieme di tutte le funzioni 
di una stessa specie si dice costituire una specie (*) di funzioni. Di qui segue che 
se U e V sono due specie distinte di funzioni ed una delle funzioni che compongono 
U è esprimibile in funzione razionale di una delle funzioni di V e delle cj, ca, ..., Cn, 
ogni singola funzione di U sarà esprimibile sotto le stesse condizioni per mezzo di 
ogni singola funzione di V; in tal caso si dice che la specie U è contenuta nella 
specie V. 
Le specie distinte possibili sono tante quanti sono i gruppi possibili di sosti- 
tuzioni fra le x1, 22, ...,2,, poichè, preso un gruppo qualunque H, l'insieme di 
tutte quelle funzioni che non sono alterate dalle sostituzioni di He sono alterate da 
ogni altra sostituzione costituisce appunto una specie, le cui funzioni si dicono per 
tal ragione appartenere al gruppo H. E reciprocamente data una specie esiste sem- 
pre il gruppo cui essa appartiene. Si sa finalmente che, affinchè una specie U sia 
contenuta in una specie V, è necessario e sufficiente che il gruppo di U contenga 
il gruppo di V. 
Designando per brevità con le stesse lettere U e V i gruppi delle specie U 
e V, se il gruppo U contiene il gruppo V, l'ordine del primo sarà eguale a quello 
(') Vedi ps. l’opera citata: Substitutionentheorie ecc. Capitolo V. 
(*) Kronecker, Monatsberichte der Berl. Akad. 3 Mirz, 1879. 
