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involuzione del terzo grado, studiata dal Caporali ('), i gruppi della quale si possono 
anche costruire come punti comuni ad un piano e alle cubiche gobbe passanti per 
cinque punti dati fuori del piano stesso. 
Non è. a mia notizia che qualche ricerca d’ indole generale sia stata intrapresa 
nemmeno per le involuzioni del terzo grado. 
Infinite involuzioni di grado qualsivoglia sì costruiscono facilmente ponendo per 
condizione che ogni gruppo debba dipendere univocamente dalle coppie di valori 
assoluti di due parametri arbitrarî. Ciò equivale a supporre che un’ involuzione [I], 
esistente in un piano II, sia razionale vale a dire rappresentabile su di un altro 
piano IT in modo che ad ogni gruppo della [I] corrisponda un sol punto di Il" e 
Viceversa. | 
In questo caso, ad un luogo arbitrario g', dato in IT, corrisponde, nel piano IT, 
un luogo © contenente infiniti gruppi della [I). Alle curve g' appartenenti ad un 
sistema lineare (0°), co”, corrisponderanno, in II, le curve © di un sistema (9)n, 
pure co”, Ora, presi, in II, m punti qualunque, per i loro corrispondenti del piano IT 
passa una curva di (0), alla quale corrisponde una sola curva di (0)n passante 
per gli m punti considerati. Perciò : 
Ad ogni sistema lineare di curve, dato nel piano II, corrisponde un sistema 
lineare di curve del piano II. 
Se (2)n è una rete omaloidica, (0)n è una rete dotata della proprietà che i 
punti base (variabili) di un fascio qualunque in essa contenuto, sono punti di un 
gruppo dell’involuzione [I]. A questo gruppo corrisponde, nel piano IT, il punto 
(non fisso) comune a tutte le curve o' formanti un fascio. 
Invece di una rete si possono considerare due fasci, nel piano Il, tali che 
ciascuna curva dell’ uno non abbia che un punto (variabile) comune con una curva 
qualunque dell’ altro. I due fasci corrispondenti, nel piano IT, determinano l’ invo- 
luzione [I) ogni gruppo della quale nasce dalle intersezioni (variabili) di una curva 
dell’ uno con una curva dell’ altro fascio. 
È del resto evidente che una rete, o una coppia di fasci, dati in un piano vi 
determinano sempre una involuzione razionale. 
Dirò rete generatrice, 0 coppia di fasci generatori, di una involuzione razio- 
nale, quella rete di curve, o quella coppia di fasci di curve, che servono a costruirne 
i gruppi ad uno ad uno. 
Dalle cose precedenti segue che: 
Un' involuzione razionale ammette infinite reti generatrici e infinite coppie 
di fascì generatori. 
Ritorniamo un istante ai sistemi di curve corrispondenti (9), e (0), dei piani II 
e IT, per notare la proprietà eccezionale di cui gode (9)m quando suppongasi m > 2. 
Essa consiste in ciò che le curve di (0)m, passanti per un punto arbitrario, pas- 
sano di nuovo per tutti gli altri punti coniugati di quello nell’involuzione [1]. 
Il sistema (2), può dunque esso pure, in grazia di tale proprietà, fornire ad uno ad 
(') Teoremi sulle curve di terz'ordine e sui fasci di curve di terz’ordine. Atti della r. Acc. dei 
Lincei, vol. I, serie 3.2 i 
