uno i gruppi dell’ involuzione. Ora si può domandare se tutti i sistemi (0), dotati 
dell’ anzidetta proprietà determinano involuzioni razionali. Ciò fornisce argomento ad 
una ricerca ancora da farsi e pertanto viene il dubbio che non tutte ie involuzioni 
piane siano razionali ('). 
Il medesimo dubbio, per altro, esiste anche circa le trasformazioni razionali cicliche 
più sopra ricordate. Queste trasformazioni, effettivamente, hanno per risultato di or- 
dinare i punti di un piano in una serie doppiamente infinita di gruppi, i quali go- 
dono della proprietà caratteristica enunciata nella definizione di involuzione piana. 
Ma è provato soltanto, dopo i lavori citati del Bertini, che le trasformazioni piane 
univoche involutorie sono involuzioni razionali (del secondo grado). 
È ancora probabile che, studiando a fondo la quistione, nuove difficoltà si pre- 
sentino a stabilire una teoria generale dell’ involuzione nel piano (f). 
Nel presente lavoro si tratta particolarmente di involuzioni razionali. Solamente 
alcuni risultati del $ 4, essendosi ottenuti indipendentemente dal modo di generazione 
dell’ involuzione, sono di indole generale. 
Al $ 1 l’involuzione piana si considera costruita con due fasci generatori. Non 
è già che tale costruzione abbia un carattere più generale di quella che si ottiene 
per mezzo di una rete generatrice, ma essa mi ha presentato notevoli vantaggi nella 
trattazione di alcune quistioni (*). Da questa costruzione, del resto, si fa discendere 
immediatamente l’altra ($ 3); ed è utile tenerle di mira entrambe poichè mentre 
certe involuzioni si definiscono facilmente con la prima, non è tanto agevole, a priori, 
definirle con la seconda costruzione, e viceversa. Non bisogna dimenticare però che 
l’involuzione una volta determinata, ne sono anche determinate tutte le infinite 
coppie di fasci generatori e le infinite reti generatrici (). 
Ai SS 2 e 3, le involuzioni ottenute con una coppia di fasci generatori, o con 
una rete generatrice, sono rappresentate rispettivamente sui punti di un iperboloide 
o di un piano. 
Nel $ 4 sono considerati certi luoghi contenenti infiniti sistemi di punti coniu- 
gati. Il $ 5 tratta delle relazioni fra due o più involuzioni ed il $ 6, infine, delle 
trasformazioni di una involuzione. 
(') Poichè ogni sistema lineare co? contenuto in (9)m ha esso pure la proprietà di determinare 
ad uno ad uno i gruppi dell’involuzione [I], così nella ricerca sopra accennata si può sempre sup- 
porre m==3. I gruppi della [I] si fanno allora dipendere dai valori assoluti di tre parametri A, ;, v 
fra i quali deve aver luogo una relazione necessaria. Se questa relazione è tale che A, 4, v si pos- 
sano esprimere -mediante funzioni razionali di due soli parametri indipendenti, l’involuzione [I] è 
razionale. 
(*) Difficoltà della stessa natura sono da rimovere anche rispetto alla teoria delle involuzioni 
nella linea retta. Non è infatti dimostrato che tutte queste involuzioni siano razionali. 
(°) Veggasi ad es. al $ 6. 
(') È opportuno notare che due reti proiettive di curve, date in un piano, vi determinano una 
involuzione razionale i cui gruppi nascono dalle intersezioni (variabili) delle curve corrispondenti. — 
Le coppie di fasci corrispondenti, nelle due reti, danno origine alle infinite curve di una rete gene- 
ratrice dell'involuzione. — In qualche caso può essere utile di considerare una involuzione costruita 
mediante due reti proiettive di curve. Così, ad es., quando ogni gruppo dell’ involuzione debba comporsi 
di N punti situati in una stessa retta. 
