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$ 1. Involuzione generata da due fasci di curve. 
1. In un piano II siano dati due fasci (0) e (4), l’uno di curve o dell’ or- 
dine n, l’altro di curve + dell’ordine n' ed indichiamo con R, uno qualunque dei 
loro punti base ('), con r,, r°, le sue moltiplicità per le o e le % rispettivamente. 
I punti R, non possono tutti appartenere alle basi dei due fasci, se questi sono 
distinti. Chiamerò punto fondamentale della prima specie un punto base comune 
e punto fondamentale della seconda specie un punto base soltanto dell’ uno o del- 
l’altro dei fasci anzidetti. Pertanto hanno luogo le relazioni: 
na —Xrì=0 ni Sni_ 
I due fasci (9) e (Y) generano un’ involuzione |I}, il grado N della quale è dato dalla: 
Ne RS 
2. Sia A; un punto qualunque del piano II ed Ag, A3,.... gli altri N—1 
punti che con quello completano un gruppo dell’ involuzione [I]. Tracciata per Ai 
una retta arbitraria t,, il punto By di essa, che trovasi infinitamente vicino ad Ai, 
ammette N —1 punti coniugati B,, B3,....i quali sono rispettivamente infinitamente 
Tieni ao Agg Aggo sco e determinano le rette A, B,, Ag B3,.... che dinoto con 
Uno Ugoccvo 
Se la t1 ruota intorno ad Ax, descrivendo un fascio, le ta, t3,.... ruotano in- 
torno ad Ax, A3,.... descrivendo tanti fasci proiettivi a quello e si dirà che i. 
raggi corrispondenti di questi fasci segnano direzioni coniugate intorno ai punti del 
gruppo considerato. 
Data una figura ad arbitrio, nel piano II, se questa s’ imagina percorsa da un 
punto Ai, gli altri punti Ag, A3,...., coniugati di A,, descrivono una seconda 
fivura, in generale differente dalla data, che diro coniugata di quest’ ultima, perchè 
se uno dei punti A», A3,.... descrive la seconda figura, gli altri percorrono la 
medesima, mentre il punto Aj percorre la data. In un istante qualsivoglia le dire- 
zioni del movimento dei punti Ax, A», A3,.... sono coniugate. 
Chiamerò sottogruppo un certo numero di punti appartenenti ad un medesimo 
gruppo d’involuzione [I]. In allora tutti i punti rimanenti del gruppo formano un al- 
tro sottogruppo che dirò complementare del primo. Se nel piano IT vi è una figura 
contenente infiniti sottogruppi, la sua figura coniugata è il luogo di tutti i sotto- 
gruppi complementari di quelli. 
8. Nel piano II si possono costruire quanti sì vogliano luoghi ciascuno conte- 
nente infiniti gruppi di punti coniugati. Fra essi sono anzitutto notevoli le curve sì 
dell’uno che dell’altro dei fasci generatori (v) e (4). Ogni altro luogo dotato dell’anzidetta 
proprietà si può ottenere mettendo fra loro in corrispondenza le curve dei fasci 
(') Nelle seguenti ricerche, questi punti base si suppongono collocati a distanza finita tra 
di loro. 
