medesimi, mediante una legge ad arbitrio, e considerando i gruppi che nascono dalle 
intersezioni delle curve corrispondenti ('). Si trova poi facilmente che: 
Se un luogo (algebrico) d’ infiniti gruppi dell’involuzione, ha in comune X 
gruppi con ogni curva del fascio 0 e X gruppi con ogni curva del fascio (0), esso è 
dell’ ordine : 
\n' + Xn 
e passa con: 
d'a 4Nry 
rami per il punto fondamentale R; . 
Nel caso particolare in cui i fasci (9) e (2) siano riferiti tra di loro proiettivamente, 
la curva £, luogo delle intersezioni di una g con la + corrispondente, è dell’ordine 
m-+n' ed ha un punto multiplo secondo il numero r, +7" nel punto fondamen- 
tale R,. Tutte le curve È analoghe alla precedente formano un sistema lineare (€)3, 
c03 (*). La curva del sistema, passante per tre punti arbitrarî è generata dai fasci 
proiettivi (0) e () che si ottengono assumendo come corrispondenti le curve g e % 
determinate da ciascuno dei punti anzidetti. Il sistema (£)3, che ha una certa im- 
portanza in queste ricerche, è dotato della proprietà che le curve di esso passanti 
per un punto, e quindi formanti una rete, passano necessariamente anche per gli N —1 
punti coniugati di quello nell’involuzione [I). Le direzioni che una qualunque di 
tali curve segna intorno a questi punti coniugati sono coniugate (n. 2). 
Due curve &, fuori dai punti fondamentali, si tagliano in: 
(n4 n) —Z(r +)? = 2N 
punti (n. 1) distinti in due gruppi dell’ involuzione. 
4. Se nel piano II esiste un luogo non avente punti variabili comuni con le 
curve dei fasci generatori, ciò vuol dire che la g e la %, passanti per un punto qua- 
lunque di tale luogo, si spezzano nel luogo medesimo e in altre due curve che con 
esso completano una © ed una v. Segue da ciò che ad ogni punto del luogo în 
discorso è coniugato tutto il luogo stesso. 
Ammetterò che vi sia un sistema di luoghi dotati della suddetta proprietà ; 
indicherò con &; uno qualunque di essi, con 3; il suo ordine e con gp, la sua mol- 
tiplicità nel punto fondamentale R,. La proprietà che definisce una curva $, si tra- 
duce mediante le equazioni: 
nzi—ZxTxpia=0 n'zi—Zxtyoa=0 
Le curve del sistema (€)3 (n. 3), non tagliano esse pure le &; fuori dai punti 
fondamentali. \ 
5. Un punto, supposto comune a due curve &;, appartiene a due © non che a 
due + epperò deve necessariamente cadere in un punto fondamentale della prima 
specie (n. 1). Dunque: 
(') Siano p,—-hp,=0, L, —hY,=0 le equazioni dei fasci generatori ed L(h,h')=0 una rela- 
CAI 
zione qualunque fra i parametri £,h. In allora l’equazione L ( O ) = 0 rappresenta una curva 
2 2 
contenente infiniti gruppi dell’involuzione [I]. 
(*) Esso è rappresentato dall’equazione: . 
APrp1 + Dpr fa +Cpgd +Apate = 0. 
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