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alla base del fascio (©), la sua moltiplicità per la curva unita è 2r,—1. Le tan- 
genti di tale curva, in R,, sono i 2 (r, — 1) raggi doppî dell’ involuzione di dire- 
zioni coniugate esistenti intorno al punto stesso e la retta che ivi tocca la curva 
fondamentale v, della seconda specie (') (n. 12). 
14. La curva unita si può generare con una costruzione che presenta qualche 
interesse per lo studio della curva medesima. 
Consideriamo le prime polari di un punto arbitrario P rispetto alle curve del 
fascio (9). Com'è noto, queste polari formano un secondo fascio proiettivo a (0) e 
le curve corrispondenti, dei due fasci, s° intersecano nei punti d’una curva ®, del- 
l'ordine 2n —1, luogo dei punti nei quali le curve © sono toccate dalle rette uscenti 
da P. La ® passa per questo punto con un solo ramo e passa con 2r, — 1 rami 
per ogni punto fondamentale R,, dell'involuzione [I] ( 
Variando il punto P, nel piano II, si ottiene una (6: infinità di curve ® le 
quali formano una rete. Infatti, dati due punti qualunque A e B, le tangenti in A 
e B alle due ©, passanti per i punti medesimi, si tagliano in un punto P che serve 
a costruire l’unica ® determinata da A e B. 
In simil modo, ogni punto P fornisce una curva Y, luogo dei contatti fra le 
curve del fascio (+) e le rette uscenti da P. Tutte le Y appartengono ad una rete 
proiettiva alla rete delle ® e sono corrispondenti una ® ed una Y che hanno crigine 
da un medesimo punto P. 
Due curve corrispondenti, D e Y, si tagliano in P, nei punti fondamentali di 
prima specie, dell’involuzione [I], e in un certo numero di punti variabili. Ciascuno 
di questi ultimi, congiunto con P, dà una retta in esso tangente a una g e ad una %, 
epperò è un punto della curva unita dell’involuzione. 
In virtù di tale proprietà, delle reti proiettive considerate, assunto un luogo ar- 
bitrario, le intersezioni delle curve ® e Y relative ad ogni punto di esso, generano 
la curva unita e una volta il luogo medesimo. Segue da ciò che la curva unita sì 
può costruire per mezzo dei due fasci proiettivi di curve De Y aventi origine da 
una retta qualunque del piano. 
15. La precedente conclusione è utile per ben definire le singolarità che può 
presentare in qualche caso la curva unita fuori dai punti fondamentali dell’involuzione. 
Siano ©, e 4, le curve dei fasci generatori passanti per un punto A (non fon- 
damentale) che suppongo A-plo per la 0, e #'-plo per la 4. Si ritenga inoltre 
la curva unita generata dai fasci proiettivi (®) e (Y), di curve ® e Y, che hanno. 
origine da una medesima retta £. La prima polare di un punto qualunque P di #, 
rispetto a 0, è dotata di un punto (h— 1)-plo in A, epperò la ® relativa a P 
passa per A con h—1 rami ivi tangenti a quelli della polare ora detta. Analoga- 
mente, la W relativa P_ passa per A con #'—1 rami ivi tangenti a "quali della prima 
polare di P rispetto a 4. Da ciò segue che: 
Se un punto (non fondamentale) è rispettivamente h-plo e h'-plo per una v ed 
una d, la curva unita passa per esso con (h-4-h — 2) rami. 
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(') La curva unita non contiene punti fondamentali della terza specie se ciascun sottogruppo 
di essi consta di punti tutti fra loro distinti. 
(*) È opportuno di notare che un ramo della ® tocca in Ry la retta PRy. 
Ced 
