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coniugate. Tutte le curve di (é)j sono tangenti in My, M3,...... alla coniugata della 
curva unita. 
Fra le curve del fascio (€), una ha un contatto tripunto con la coniugata della 
curva unita in Mg, M3,..... ed è cuspidata in M, essendo t la tangente cuspidale. 
Un'altra di quelle curve è formata dall’insieme della © e della v passanti per M. 
Da tutto ciò risulta che: 
Intorno ad un punto qualunque della curva unita esistono infinite coppie di 
direzioni coniugate, formanti un’involuzione di secondo grado i raggi doppi della 
quale sono la tangente della curva unita e la retta t che congiunge il punto M 
col suo coniugato successivo. A ciascuna di quelle coppie sono coniugate le dire- 
zioni fisse segnate dalle tangenti, alla coniugata della curva unita, nei punti co- 
niugati di M. Viceversa, a direzioni coniugate, date in questi ultimi punti, corri- 
sponde in M la direzione fissa della retta t. 
18. Conseguenze dell’enunciato teorema sono le seguenti. 
Se un luogo (semplice o decomposto in parti), non contenenti infiniti gruppi 
dell’involuzione [I], incontra la curva unita in un punto M, in generale questo 
punto è semplice oppure è doppio per quel luogo. Nel primo caso, esso tocca in M 
la retta t che unisce tale punto col suo coniugato successivo e attraversa la coniu- 
gata della curva unita (nei punti coniugati di M) sotto direzioni che non dipendono 
dal primo elemento del luogo in M. Nel secondo caso, le due tangenti del Iuogo 
in M, dividono armonicamente la retta t e la tangente della curva unita. La curva 
coniugata di questa, poi, tocca il luogo medesimo nei punti coniugati di M. 
Il luogo di cui si tratta precedentemente può comporsi di una curva arbitraria 
e della sua curva coniugata (n. 7). In allora si ha: 
Una curva T, data ad arbitrio, interseca la curva unita (fuori dai punti fon- 
damentali) în punti che appartengono alla curva Ty coniugata di T. A ciascuno 
di tali punti sono coniugati N —2 punti nei quali si toccano fra di loro la T4 
e la coniugata della curva unita. 
Le rimanenti intersezioni di T° e T sono divise in tante coppie di punti coniugati. 
Indichiamo con w e @' l’ordine della curva unita e quello della sua coniugata; 
con w, v' le moltiplicità di queste curve in un medesimo punto fondamentale (qua- 
lunque ne sia la specie). Siano parimenti: v e v' gli ordini delle curve T e T; 
s, s le loro moltiplicità in uno stesso punto fondamentale. Da quanto si disse se- 
gue che: 
Sopra la curva T° esistono: 
7» (V—-@— 15 (—u) 
coppie di punti coniugati e ciascuna di tali coppie fa parte di un gruppo che 
contiene N —2 punti doppî per le curve T;. 
Ogni punto, non fondamentale nè situato in T, comune a T1 e alla curva unita, 
appartiene a un sottogruppo di N —1 punti, di T1, nel quale vi sono due punti 
tra loro infinitamente vicini. Tale sottogruppo, insieme ad uno determinato dei punti 
comuni a T' e alla coniugata della curva unita, forma un gruppo completo dell’ in- 
voluzione. Dunque: 
