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Sopra la curva T; esistono: 
w(V—-y—SZu(s—-s), oppure vo'— Es 
coppie di punti coniugati tra loro infinitamente vicini. 
19. La curva unita e la sua coniugata, fuori dai punti fondamentati, sì ta- 
gliano in: 
- (Qu Zuu') 
punti divisi in coppie di punti coniugati. 
Di queste coppie ve n’ha di due punti distinti e di due punti successivi. Cia- 
scuna delle prime ha origine da due curve, dei fasci generatori () e (4), aventi fra 
loro un doppio contatto esternamente ai punti base e gli N —4 punti distinti, ad 
essa coniugati, sono doppî per la coniugata della curva unita. Ciascuna delle seconde 
ha origine da una @ e da una % le quali si osculano epperò determinano un sotto- 
gruppo di tre punti riuniti. Il sottogruppo complementare consta di N —3 punti 
che sono altrettante cuspidi per la coniugata della curva unita. 
Per ulteriori determinazioni, circa le predette coppie di punti si vegga ai nu- 
meri 29 e 61, e intanto si noti che la curva unita è toccata (contatto bipunto), da 
una 9 e da una v che si osculano, nel loro punto di osculazione (n. 15). 
20. Tenendo presente quanto è detto ai numeri 17 e 18, si possono aggiungere 
i seguenti particolari riguardanti le curve fondamentali dell’involuzione : 
I. Nella curva 2,, coniugata del punto fondamentale R, di prima specie, vi sono: 
1 
(mt) (1) 3 Zia (pin 1) 
sottogruppi, ciascuno composto di N — 2 punti doppî per la curva medesima (n. 10). 
II. Ogni ramo della curva unita tocca in R, un ramo della curva &, (n.9) 
e alla direzione della tangente comune sono coniugati N — 2 punti nei quali sì 
toccano fra loro la curva a; e la coniugata della curva unita. 
III. La curva dz, coniugata del punto fondamentale R, della seconda spe- 
cie (n. 13), e la curva unita sì toccano in R,, e alla direzione della tangente 
comune sono coniugati N —r, —1 punti (fuori dai fondamentali) di contatto fra 
4. e la coniugata della curva unita. 
IV. Una curva fondamentale qualunque dell’involuzione (fuori dai punti 
fondamentali) incontra la curva unita in punti ciascuno dei quali è coniugato al 
proprio successivo in quella curva fondamentale. 
21. Più sopra (n. 5) venue supposto che curve fondamentali &;, della terza spe- 
cie, non contenessero punti fondamentali della seconda specie; ora sarà utile di pren- 
dere in esame il caso in cui non si verifica una tale ipotesi per appianare le diffi- 
coltà che si presentano nello studio di involuzioni, parecchie delle quali si costruiscono 
assai facilmente (‘). i 
Fra i punti fondamentali della seconda specie ne considero alcuni che sup- 
pongo essere punti base soltanto del fascio (9). Indico con R, uno generico tra essi 
x 
(') Fra queste, per es., l’omologia armonica che è la più semplice di tutte. Essa è definita da 
un fascio (9) di coniche e da un fascio (Y) di rette col centro nel punto doppio d'una g (V. al n. 24). 
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