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23. Riferiamo proiettivamente i due fasci (9) e (4) colla condizione che siano 
corrispondenti le due curve aventi la parte comune %. Con ciò si generano infinite 
curve del sistema (£)3 formanti una rete. Una qualsivoglia di esse è decomposta 
nella parte fissa $, e in una curva &, dell'ordine n +4 n' — z, passante con r, — fip 
ed 7°,— f1y rami per un punto R, ed R, rispettivamente. Ogni ramo della £&, tocca 
in R, un ramo della @, ed il contatto è (4,-+-1)-punto; similmente ogni ramo della &1 
tocca in R, un ramo della vo ed il contatto è (X7+1)-punto (n. 21). I punti, non 
fondamentali, comuni a &, e <, sono in numero di: 
2 2 2 Susi 
Za Py +p Pip tZa01g 731 =%, 
cioè sulla 1 esistono infiniti sottogruppi di 0, punti coniugati. 
I punti fondamentali di terza specie coniugati della &, (n. 6) distinguonsi: 
I. Nei punti comuni a © e Ly in numero di : 
N_0,—Zhy(m— pw) — Sua 19 = - 
II. Nelle Xh, (Mm — fa) intersezioni, della d, con la 0,, riunite intorno ai 
punti R, sui rami della ®y. 
III. Nelle Xhy (fa — 04) intersezioni, della Ly con l’ insieme delle © e 1, 
riumite intorno ai punti R, sui rami della %. 
In quanto alla curva unita dell’involuzione [I], essa tocca in un punto R, tutti 
i 2(r — 1) raggi doppî dell’involuzione determinata dalle tangenti ai rami delle 
curve og uscenti dal punto anzidetto (n. 13) ed è ancora ivi tangente a tutti i rami 
della curva %,. Dunque: 
La curva unita dell’involuzione passa con : 
2 (1y—-1)+ly}— Zu fw 
rami per ogni punto fondamentale R,. 
24. Un caso particolare, di quello precedentemente considerato, e degno di nota, 
si ottiene nel supposto che la curva 4, non esista, cosicchè l’insieme delle curve &, 
forma una +, ossia Xz, =. In allora si ha y= 0 (n. 23) e le intersezioni delle &, 
con una @ qualunque, riunite nei punti R,, formano un gruppo completo dell’invo- 
luzione. Cioè, essendo R, = X, fup; 
ZplpZufu=N- 
Se poi anche la ©, non esiste, la %, è necessariamente una curva del fascio (%). 
S 2. Rappresentazione dei gruppi dell’involuzione [I] 
sui punti di un iperboloide. 
25. Si può mettere in corrispondenza il piano II, dell’involuzione [I], con un 
iperboloide IT’, riferendo tra di loro proiettivamente le curve del fascio (9) al sistema (9') 
delle generatrici, non che le curve del fascio (4), al sistema (y') delle direttrici 
di IT ('). In allora al gruppo dell’involuzione, determinato da una © e da una 4, 
corrisponde il punto, di IT, determinato dalle rette o" e + corrispondenti alle 9 e 
anzidette. E viceversa. 
(') Qui, per comodo, i due sistemi di rette dell'iperboloide vengono designati coi nomi di ge- 
neratrici e direttrici. 
