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Un luogo algebrico L', dato ad arbitrio in IT, verrà incontrato rispettivamente 
in ) o Y' punti, da una generatrice o da una direttrice, e sarà perciò dell’ ordine 
X\+X. Nel piano II, il luogo L, corrispondente di L', avrà in comune rispettiva- 
mente X o )' gruppi dell’ involuzione [I], con una @ od una ©, e sarà dell’ ordine 
n +Xn (n. 3). Si vede poi facilmente che ad ogni sistema lineare di curve dato 
in II, corrisponde un sistema lineare di curve nel piano II. In particolare alle se- 
zioni piane di II corrispondono, in IT, le curve del sistema (€)3 ('). 
| 26. Essendo R, un punto fondamentale di prima specie, dell’involuzione, poichè 
una © ed una 4 quali si vogliano vi passano rispettivamente con r ed 7, rami, così: 
Ad ogni punto fondamentale di prima specie, dell’involuzione [I], ed alla 
sua curva coniugata &, (n. 9), corrisponde, sull’iperboloide Il, und curva (fonda- 
mentale) «', dell’ordine rh +1, la quale incontra rispettivamente in ri ed in Ty 
punti una generatrice ed una direttrice. 
Invece è chiaro (n. 12) che: 
Ad un punto fondamentale della seconda specie, ed alla sua curva coniugata, 
corrisponde, sull’iperboloide Il, una generatrice ed una direttrice (fondanientale). 
Ad un sottogruppo di punti fondamentali Z;; ed alla loro curva coniugata &; 
(n. 4 e 6) corrisponde, sull’iperboloide IN un punto fondamentale Z;. 
E ancora (n. 4): 
La curva fondamentale ax, dell’iperboloide TI, passa con px rami per èl punto 
fondamentale Z';. 
Una curva a, è razionale perchè i suoi punti corrispondono univocamente alle 
direzioni intorno al punto fondamentale R, dell’involuzione [I]. Per un punto arbi- 
trario dello spazio passano 4 rx (mm 1) +4r% (rx — 1) corde della curva, percui 
essa, oltre ai punti multipli sopraccennati è dotata di altri: 
(1) (Mx =1)— DI (ox 1) 
punti doppî, ciascuno dei quali è rappresentato, intorno al punto R,, da una coppia 
di direzioni coniugate (n. 10). 
Infine, le generatrici e le direttrici fondamentali, di TI, non contengono punti 
fondamentali Z';, se si suppone che le curve &; non contengano punti fondamentali 
della seconda specie. 
27. Sia M un punto qualunque della curva unita ed M' il punto che gli cor- 
risponde sull’iperboloide II ed è perciò situato nella corrispondente di quella curva. 
(') Si rammenti che il sistema (é)3 (n. 3) è rappresentato dalla: 
apidi + bip, Va +0po di +dpo da =0. 
Ora essendo X, Y, Z, W, le coordinate omogenee di un punto dello spazio, consideriamo la superficie 
determinata dalle equazioni: 
X:YiZ:W=9,V:pla:pali spad. 
Le sezioni piane di essa, passanti per un suo punto qualunque, corrispondono alle curve del si- 
stema (?)3 formanti una rete ed aventi in comune un gruppo di punti dell'involuzione [I]. Da ciò 
segue una corrispondenza univoca fra i gruppi dell’ involuzione ed i punti della superficie, l’equa- 
zione della quale, in coordinate di punti, si trova essere della forma: XW.—YZ=0. 
Si vede adunque che la rappresentazione dell'involuzione [I] sui punti di un iperboloide viene 
per sè affatto spontanea. ; 
