— 517 — 
Alle sezioni piane di IT, passanti per M', corrispondono in TI le curve del sistema (5), 
formanti una rete, e tutte tangenti in M alla retta £ che unisce questo punto col 
suo coniugato successivo (n. 17). In particolare, al fascio di quelle sezioni piane, 
avente per asse la tangente alla corrispondente della curva, unita, corrisponde quel 
fascio di curve £ che in M sono dotate di un punto doppio (n. 17). Ciò mette in 
evidenza che ad una direzione qualunque, intorno al punto M' dell’iperboloide IT, 
corrisponde, nel piano Il la direzione fissa segnata in M dalla retta t. A ciò fa 
eccezione la direzione della tangente in M' alla corrispondente della curva unita, 
alla quale corrispondono due direzioni coniugate distinte intorno al punto M. 
Si vede poi facilmente che: 
La corrispondente della curva unita, sull’iperboloidé I°, è toccata da tutte 
generatrici e direttrici che corrispondono a curve dei fasci (9) e (9) ciascuna 
delle quali è dotata d’un punto doppio. 
E per quanto è detto al n. 13: 
Le generatrici e le direttrici fondamentali, dell’iperboloide II (n. 26), sono 
tangenti alla corrispondente della curva unita. 
Infine è utile di notare che una coppia di punti coniugati distinti o succes- 
sivi, situati nella curva unita (n. 19), dà origine ad un punto doppio o ad una 
cuspide della curva corrispondente. 
28. Per quanto concerne il passaggio da un luogo arbitrario del piano IT, o del- 
l’iperboloide II°, al luogo corrispondente dell’iperboloide IT, 0 del piano IT, si hanno 
i teoremi seguenti : 
I. Ad una curva arbitrariu T, del piano II, dell'ordine v e passante ri- 
spettivamente con s, ed s; rami per i punti fondamentali R, e Zi;, corrisponde, 
nell’iperboloide IN, una curva T' dell’ordine (n. 25 e 26): 
(tn) Ls (mr), 
passante con 
Vaia Sk ig t+-XjSij 
rami per il punto fondamentale Z'; ('). 
II. La curva T' tocca la corrispondente della curva unita in tutti i punti 
corrispondenti di quelli nei quali la curva T e la sua coniugata sì tagliano sulla 
curva unita medesima (n. 18 e 27). 
III. Ad una curva L', data ad arbitrio sull’ iperboloide II, incontrata 
rispettivamente in \ e XY punti da una generatrice e da una direttrice, e pas- 
sante con n; rami per il punto fondamentale 7/;, corrisponde, nel piano II, una 
curva dell’ordine (n. 25 e 26): 
\N+\Xn—XW;z;, 
per la quale è punti fondamentali R; e Zi; sono multipli secondo î numeri: 
MiA Z ii Da 
29. Siano: P il genere delle curve 9; D il numero di queste curve dotate d’un 
punto doppio esternamente ai punti base; E il numero dei punti fondamentali di seconda 
(') Si può notare che le curve P e 1’ sono dello stesso genere giacchè i loro punti si corri- 
spondono univocamente. Ad ogni coppia di punti coniugati nella prima (n. 18) corrisponde un punto 
doppio nella seconda. 
