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i punti della curva A' e le curve del fascio (9);. Qui però bisogna notare che cia- 
scuna delle intersezioni (non fondamentali) della curva A' con la curva comune al 
fascio (9), e alla rete (9), e con una curva &; (n. 66), deve riguardarsi come un | 
punto pel quale passa la curva corrispondente. Dopo ciò si ha: 
RE= - {(N—1)(N—2)? —2(N—2)P—s(9;—1)(0;—2)°+25(9—2)p;—2% To 
Infine rimane a trovarsi il numero o delle coppie formate da due curve del fascio (0 
ciascuna contenente due punti coniugati d'un medesimo gruppo dell’involuzione |I. 
A tal uopo basta osservare che le curve A e A", fuori dai punti fondamentali (n. 65), 
dalla curva umita (n. 67) e dalle terne di punti coniugati situate in A, si tagliano 
in un certo numero di punti distinti in coppie a due ‘a due appartenenti ad un me- 
desimo gruppo dell’involuzione ('). 
I gruppi di essa nei quali si verifica la proprietà anzidetta sono in numero di 
c e si ha 
@= T (00 Ley Ty 607). 
69. E noto che le curve del sistema lineare (0)z (n. 64) si possono riguardare 
come le imagini delle sezioni piane di una superficie ®, dell’ordine N, rappresen- 
tata univocamente, punto a punto, sul piano del sistema. La curva A è l’imagine della 
curva doppia di ® e tal curva è dell’ordine + (N—1) (N—2)—P (n. 66). Ogni terna 
di punti doppî, situati in A (n. 68), è l’imagine di un punto triplo della curva doppia. 
I x punti comuni a tutte le curve unite delle involuzioni determinate dal sistema 
(0)3 (n.67) sono le imagini di punti della curva doppia nei quali si toccano due 
falde di ®. La sviluppabile tangente alla superficie nei punti della curva doppia, è 
della classe y (n. 67). Le corde della curva doppia, passanti per un punto arbitrario 
dello spazio, sono in numero di o (n. 68). 
Ogni curva $; è l’imagine di un punto conico, della superficie, dell’ordine 9; (?), 
del genere p; e della classe 2(0;4-p;— 1) (n.66). Per tal punto passa la curva 
doppia di ® con - (0;—1) (0;:—-2) —p; rami. Il numero dei punti conici di ® è 
î (n. 67). 
Altri simboli, contenuti nelle formule precedenti, hanno un significato rispetto 
alla superficie ®. Così la differenza e—x (n. 67) è la classe di ®; A e c (n. 67) di- 
notano rispettivamente l’ordine di un cono circoscritto a ® e il numero delle sue gene- 
ratrici cuspidali. Ecc. ecc. (*). ; 
(‘) V. al n. 57 ponendo y=m=2. 
(*) Se una curva %; contenesse infiniti sottogruppi di 0; punti coniugati in tutte le involuzioni 
determinate dal sistema (9), (n. 65) essa sarebbe l’imagine di un punto multiplo, della superficie ®, 
con il cono delle rette osculatrici spezzato in 0; piani coincidenti insieme. 
(*) Veggansi le ricerche, analoghe a queste del prof. Caporali: Sopra i sistemi lineari tmplamente 
infiniti di curve algebriche piane nel volume Collectanea Mathematica, pubblicato in memoria di Dome- 
nico Chelini (Milano, Hoepli edit.). 
