— 341 — 
S 6. Trasformazioni delle involuzioni razionali. 
70. Un’involuzione razionale è perfettamente determinata quando è data la coppia 
di fasci generatori (o la rete generatrice) di curve che serve a costruirne gli infiniti 
gruppi. Così le involuzioni di uno stesso grado N si ottengono ricercando tutte le 
coppie di fasci generatori aventi la proprietà che ogni curva dell’uno seghi una curva 
qualunque dell’altro in N punti variabili. Per limitare il campo di tale ricerca converrà 
anzitutto aver presente che una data involuzione ammette infinite coppie di fasci ge- 
neratori ('), cosicchè due involuzioni potrebbero, con opportuno cambiamento dei fasci 
generatori, essere ricondotte ad un medesimo modo di costruzione. Per raggiungere un 
tale scopo si può anche tener conto degli effetti di una trasformazione razionale (0 ciò 
che è lo stesso, di una serie di trasformazioni quadratiche) poichè, data un’ involu- 
zione (I), în un piano, se i punti di questo si trasformano razionalmente nei punti 
di un altro piano, dalla figura formata da due fasci generatori della [I], si ot- 
tiene una figura formata pure da due fasci i quali determinano un’ involuzione [I]. 
Le [I], [I1] sono del medesimo grado ed i loro gruppi si corrispondono univocamente. 
Esse, in generale, differiscono negli ordini delle curve dei fasci generatori e nei sistemi 
dei punti e delle curve fondamentali. Però non differiscono nei generi delle curve 
de’ fasci anzidetti. 
Quanto al cambiamento dei fasci generatori, che rispetto al modo di costruzione 
può riguardarsi come mezzo di trasformare un’ involuzione, esso può farsi con un pro- 
cedimento abbastanza semplice che si deduce facilmente considerando dapprima la qui- 
stione nel caso particolare in cui si tratti di un’ involuzione di primo grado. 
71. Per definire un’involuzione (I), di primo grado, basta costruire due fasci 
di curve (razionali) tali che ogni curva dell’uno seghi una curva qualunque dell’altro 
in un solo punto variabile. 
AI solito, siano (9) e (L) questi fasci, composti di curve degli ordini n ed n' 
rispettivamente. Si potrà supporre n' = n. 
Un punto fondamentale R, (di seconda specie (n. 1)) comune soltanto alle curve d, 
è necessariamente semplice per le curve medesime (n. 12) ed è manifesto che la © pas- 
sante per esso, non potendo essere incontrata in punti variabili dalle 4, è una curva 
fondamentale di terza specie (n. 6) (°). 
Essendo R, un punto fondamentale appartenente soltanto alla base del fascio (9), 
anche la che passa per R, dovrebbe essere una curva fondamentale della. terza 
specie, cioè una curva, o parte di curva, del fascio (9). Ma ciò è impossibile sen'>n, 
epperò in questo caso non vi sono punti fondamentali comuni alle sole @, vale a dire, 
tutti i punti base di (9) cadono in punti base di (+). Se invece n'=n, la 4 di cui si 
tratta è una curva comune ai due fasci (g), (1) e quindi coincide conla g passante per Ri (°). 
(') V. la prefaz. pag. 302. 
(°) Quando, in generale, N>1, la 9 passante per R, è la curva coniugata di tal punto; nel 
caso attuale, questa curva coniugata non esiste, ma però la @ anzidetta, assumendo il carattere di 
curva fondamentale della terza specie, non dà origine a punti fondamentali di questa specie. 
(*) I fasci (9) e (), in allora, appartengono ad una medesima rete omoloidica che si potrebbe 
assumere come generatrice dell'involuzione (v. Creinona, Sulla trasformazione delle figure piane, Memorie 
dell’Ace. di Bologna, 1863). 
