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Quanto ai punti fondamentali di prima specie (n. 9), essi non ammettono curva 
coniugata, per cui si vede che in una involuzione di primo grado non vi sono che curve 
fondamentali della terza specie. Si ha poi (n.13) 
Lz=2(n+4+n) 3, Xi pa=2(M4 rx) 1. 
72. Rappresentiamo i punti del piano IT, dell’involuzione [I], sui punti di un 
iperboloide II, facendo corrispondere ai fasci (0) e (Y) rispettivamente i sistemi (9!) 
e (4) delle generatrici e delle direttrici di II° (n.25). In allora è evidente che ad ogni 
fascio (€), il quale con (0) può assumersi come generatore dell’involuzione, corri- 
sponde ad un fascio (£) di curve (razionali) dell’iperboloide, aventi ciascuna un solo 
punto comune con ogni generatrice g' e un certo numero m di punti comuni 
con ogni direttrice 4. Il fascio (£) si compone adunque di curve dell’ordine m+-1; 
i suoi punti base, tutti semplici, sono in numero di 2m e possono prendersi tutti 
ad arbitrio, purchè due di essi non siano in una medesima generatrice ('). 
Indichiamo con (7g) un fascio di curve razionali, di IT, ciascuna delle quali 
seghi ogni generatrice in un solo punto e ogni direttrice in m—1 punti. Inoltre 
prendiamo i2(m— 1) punti base di (') in punti base di (£°) e diciamo A", A, i rima- 
nenti punti base di quest’ultimo fascio. Riferendo proiettivamente il sistema delle 
generatrici e il fascio (4°) in modo che si corrispondano le generatrici e le curve 4° pas- 
santi per ciascuno dei punti A, A", il luogo dei punti comuni alle linee corrispon- 
denti è manifestamente una curva del fascio (&'). Perciò questo fascio si deduce dal 
sistema (9°) delle generatrici e da un fascio composto di curve ' dell’ordine m. 
Con una serie di costruzioni cosifatte si potrà dunque dedurre il fascio (€) dai si- 
stemi (g') e (v') delle generatrici e delle direttrici. Un tale risultato, trasportato al 
piano II, dà il teorema: 
Se alla coppia (0), (0) di fasci generatori di un’ involuzione del primo grado, 
si sostituisce l’altra (9), (€), generando le curve & coi fasci (0) e (V), riferiti pro- 
iettivamente fra di loro, quest’ operazione, replicata successivamente ed in modo 
opportuno, fornirì tutti quanti i fasci che con (0) possono assumersi come gene- 
ratori dell’ involuzione. 
È importante a notarsi che mediante il procedimento contenuto nel teorema, sì passa 
dalla coppia (9), (Y), all’altra (e), (€) e viceversa da quest’ ultima coppia alla primitiva. 
73. Riprendiamo a considerare i due fasci generatori (9) e (4) e la curva @i, 
del primo, che contiene il punto fondamentale Rj (n. 71) comune alle sole v. La curva 
di (4), passante per un punto arbitrario di 9j, si spezza nella stessa @1 e in un’altra 
curva 4, dell'ordine n'—n. Escluso il caso in cui si abbia n= =1, se la 4 
non è essa medesima una curva fondamentale dell’involuzione, oltre la ©; esistono 
altre curve fondamentali e la somma dei loro ordini è eguale a n+2n —3 (n. 71). 
E ancora, se la y1 è una curva fondamentale, all’infuori di essa e della 1, vi sono 
altre curve fondamentali, la somma degli ordini delle quali è eguale a 2n+4n —3. 
Perciò, sì nell’un caso che nell'altro, l’involuzione [I], insieme alla 91, ammette al- 
meno un’altra curva fondamentale €, dell’ordine z, tale che essa e la 9, apparten- 
gono a due + differenti. 
(') Queste proprietà, del fascio (£'), si deducono facilmente facendo uso di una proiezione stereo- 
grafica dell’iperboloide I’. 
