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Ciò posto riferiamo proiettivamente i due fasci (9) e (4) per modo che la qi 
e la $ corrispondano a se stesse. In allora, colle intersezioni delle curve corrispon- 
denti, si generano infinite curve dell’ordine n= n'—z, formanti un fascio che in luogo 
del fascio (0) può assumersi come generatore dell’involuzione [I]. E poichè n"<n', 
così si ha il teorema: 
A ciascuno dei fasci generatori di un’ involuzione [I] di primo grado, si può 
sempre sostituirne un altro, composto di curve d’ordine inferiore, ognuna delle 
quali sì genera stabilendo un’ opportuna relazione proiettiva tra i fasci primitivi. 
74. Il procedimento geometrico che ha condotto al teorema precedente è quello 
medesimo di cui si tratta nel teorema del n. 72 ed è manifesto che esso applicato 
successivamente, ed in modo opportuno, conduce dalla coppia (©), (L), di fasci ge- 
neratori, a due fasci di rette. Viceversa, per quanto s’ è notato (n. 72), con pro- 
cedimento analogo da questi fasci di rette si risale alla coppia (o), (V). Farò di 
più osservare che i due fasci di rette in discorso possono essere dati comunque. 
Infatti per veder ciò basta aver presente che ogni retta del piano può sempre ri- 
guardarsi come generata da due fasci prospettivi aventi i centri in due punti arbitrarî. 
Considerando ora due coppie qualisivogliano di fasci generatori dell’involuzione, 
col noto procedimento, dalla prima coppia potremo dedurre due fasci di rette e poscia 
da questi risalire alla seconda coppia. Onde: : 
Se alla coppia (0), (V) di fasci generatori, di una involuzione del primo grado, 
si sostituisce Valtra (0), (€), generando le curve E coi fasci (0) e (V) riferiti pro- 
icttivamente fra di loro, quest’operazione, replicata successivamente ed in modo op: 
portuno, fornirà tutte le possibili coppie di fasci generatori dell'involuzione. 
75. È per altro agevole il mostrare che un tale teorema è vero qualunque sia 
il grado di un’ involuzione [I]. A quest’uopo rappresentiamo i gruppi dell’involuzione 
sui punti di un iperboloide II nel modo noto (n. 25) e osserviamo che ad ogni coppia 
di fasci generatori della [I] corrisponde in Il una coppia di fasci di curve (razionali) 
avente la proprietà che una curva qualunque dell’uno sega in un solo punto varia- 
bile ogni curva dell’altro. Ma per la costruzione di questi ultimi fasci vale mani- 
festamente il teorema sopra enunciato, epperò esso vale ancora per la costruzione 
di tutte le coppie di fasci generatori (') dell’iuvoluzione (I). 
Il teorema così generalizzato insegna adunque un metodo per effettuare il cam- 
biamento dei fasci generatori dell’involuzione medesima. 
76. Al n. 70 ho fatto cenno dei risultati che si ottengono applicando una tra- 
sformazione razionale ad una data involuzione. Quanto al cambiamento dei fasci gene- 
ratori osservo ancora che esso, in generale, fornisce coppie di fasci composti di curve 
differenti sì negli ordini che nei generi dalle curve dei fasci primitivi. Ora, tanto 
la trasformazione razionale quanto il cambiamento dei fasci generatori si possono 
effettuare nello scopo di dedurre, da una involuzione data, un’altra involuzione co- 
struita nel modo più semplice possibile. La risoluzione di un tale problema con- 
durrebbe allora a stabilire delle costruzioni tipiche dalle quali si potrebbero dedurre 
tutte le involuzioni razionali del medesimo grado. Come già dissi più sopra (V. la 
Pref.) il problema stesso è stato risoluto per le involuzioni del secondo grado, 
(') E quindi anche di tutte le reti generatrici. 
