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Gli spazî a quattro dimensioni che toccano la F," lungo una conica (spazî tan- 
genti doppî) costituiscono Ja superficie Faf di 4° classe e a due dimensioni reciproca 
della F,f. La F,% (come la Fa”) non ha alcuna singolarità speciale, o in altre parole 
tutti i suoi punti hanno le stesse proprietà. Essa si lascia generare facilmente mediante 
tre forme projettive fondamentali particolari di 2° specie, i cui assi sono tre dei suoi 
piani secanti di 1° specie. Gli spazî corrispondenti a quattro dimensioni di queste 
tre forme s’ incontrano nei piani secanti di 1% specie della F»", cioè generano la su. 
perficie M,3, mentre gli spazî corrispondenti a tre dimensioni s’ incontrano nei punti 
della Fyf. 
La rappresentazione piana della F,* si ottiene in due modi diversi, mediante 
una projezione univoca fatta da un piano qualunque di 1° o di 2% specie. Questo 
doppio modo di proiezione mi conduce a dedurre dalla Fy% per successive projezioni 
e sezioni univoche due piani qualunque fra loro in corrispondenza Cremoniana e per 
conseguenza anche le proprietà principali delle trasformazioni piane Cremoniane. Faccio 
analoghe considerazioni sulle trasformazioni razionali dello spazio a tre dimensioni, che 
svolgerò meglio alla prossima pubblicazione dell’anzidetta mia Memoria sulla Fo”. 
Dalla Faf si ottengono per projezione da una retta Sj sopra lo spazio ordinario 
tutte le superficie rappresentabili nel nostro spazio mediante un sistema triplamente 
infinito di curve del 2° ordine, e perciò anche la superficie di Steiner, che è stata 
principalmente studiata da Weierstrass, Kummer, Schròter, Cremona, Cayley, Clebsch, 
Reye e Sturm ('). 
Segando la F,* con lo spazio ordinario si ottengono le superficie reciproche. 
Il metodo qui seguito è principalmente sintetico e intwitivo, come nelle altre 
mie Memorie sulla geometria a » dimensioni. Dico intuitivo perchè per me il 
punto, la retta, il piano e lo spazio a tre dimensioni in quello a » dimensioni sono 
clementi di natura nota, cioè hanno sempre lo stesso significato, quello che posseg- 
gono nello spazio ovdinario; e quindi i corpi a più di tre dimensioni generati con 
questi elementi sono essi stessi parzialmente intuitivi, perocchè vengono rappresentati 
nella nostra mente non già per merzo di equazioni, ma mediante figure geometriche (°). 
: (') Weierstrass e Kummer, Monatsherich. der Berl. Ak. 1863. — Schréter, ib. e Giorn. di Crelle, 
vol. 64. — Cremona, ib. e Rendiconti del’Ist. Lomb. 1867. — Cayley, Giorn. di Crelle, vol. 67. — 
Clebsch, id. — Reye, Geometrie der Lage, IT Abth. — Sturm, Math. Annalen, vol. III 
(°) Ritengo opportuno, se non necessario, di chiarire bene in questa occasione il concetto dello 
spazio a n dimensioni, che sta a fondamento delle mie ricerche, onde non essere frainteso. 
In un corso di lezioni elementari sui fondamenti della geometria a n dimeusioni tenute in quest'anno 
nella R. Università di Padova ho stabiliti gli assiomi del segmento rettilineo, e costruita la retta, ho 
dato l'assioma delle parallele nel senso euclideo. Ammessa come ipotesi fondamentale che fuori del 
segmento rettilineo e degli enti costruiti per mezzo di esso vi siano sempre dei punti, o in altre pa- 
role ammesso che non ci sia alcun limite nel numero delle dimensioni degli enti costruibili col seg- 
mento rettilineo, ho fatto vedere come si costruisce con esso il piano, lo spazio a tre e a un nu- 
mero qualsiasi di dimensioni, dimostrando per tutti e in modo analogo le loro proprietà fondamen- 
tali. La geometria descrittiva (A. Sulla geom. descrittiva a quattro dimensioni. Atti del r. Istituto 
veneto, apr. 1882) serve poi per, costruire i modelli (projezioni) delle figure dello spazio a quattro 
e a n dimensioni nel nostro spazio, e per conseguenza anche le projezioni in un piano, foglio del 
disegno. Non si può dunque dubitare che le figure dedotte per projezione o per sezione da quelle dello 
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