S 1. Proprietà dedotte dalla rappresentazione piana. 
1. Ricordo qui i seguenti teoremi: Quando uno spazio Sn ha p+- 1 punti comuni 
con uno spazio Sp (M>p), lo contiene per intero. 
Due spazî Sn e Sn nello spazio a n dimensioni s'incontrano in generale in uno 
spazio S,, ove a =m--m—n. E se s'incontrano invece in uno spazio Sa,4a, cioè se 
hanno a4+d+1 punti indipendenti comuni, tali cioè da non essere situati in uno 
spazio a meno di a+d dimensioni, i due spazî Sm, Sn sono contenuti in uno spazio 
a n—d dimensioni. 
spazio a n dimensioni non esistano. Si vede adunque che il mio punto di partenza non è soltanto sin- 
tetico ma altresì rappresentativo senza alcun substrato analitico, ove l'elemento genera- 
tore non è già un elemento di natura qualsiasi, ma il punto tale quale ce lo 
immaginiamo nel nostro spazio. Ed è per questo che in tali ricerche possiamo aiutarci di 
continuo con figure tracciate sulla carta per rappresentarci punti, rette, piani, curve e superficie dello 
spazio a n dimensioni, le quali sono in qualche modo la prospettiva delle figure corrispondenti in 
questo spazio. Ecco anche la ragione per cui non posso adottare la parola piano adoperata da altri 
per designare uno spazio lineare a n dimensioni, perchè per me il piano è sempre lo stesso, si nello 
spazio ordinario come in un altro spazio qualunque. Ecco anche perchè non posso adottare la definizione 
puramente analitica accettata comunemente di un tale spazio, come cioè un continuo dove un 
elemento (di natura qualsiasi) è determinato da n quantità; imperocchè se è vero che questa 
definizione abbraccia tutte le interpretazioni geometriche, non è men vero che abbracciandole tutte non 
ne determina alcuna, e non è quindi rappresentativa. Non sono più dunque i risultati dell’analisi che 
rivesto del linguaggio sintetico, ma sono le costruzioni geometriche da cui parto, 
a cui applico poi il metodo analitico, quando lo credo opportuno, precisa- 
mente come avviene nella geometria analitica ordinaria. 
Il principio poi di projezione e sezione, che è per sè stesso un principio eminentemente sin- 
tetico e intuitivo, applicato in tutta la sua generalità e sistematicamente allo studio della geometria 
projcttiva a n dimensioni (A.1.c.) non è soltanto interessante per sè stesso, ma specialmente in 
quanto esso conduce a quest'altro principio fondamentale, che per quanto mi consta non fu mai 
applicato da alcuno, nemmeno in qualche suo caso particolare, e cioè: 
Tutte le configurazioni di n+1 punti distinti, tutte le curve o superficie 
a 2,3eccm—1 dimensioni di uno spazio Sn (e perciò anche del nostro spazio) 
trasformabili razionalmente le une nelle altre, si deducono per projezione o 
sezione univoca da una piramide fondamentale di n+1 punti, da una curva o 
superficie normale a 2, 3 ecc m— 1 dimensioni dello spazio a n dimensioni. 
L'importanza di questo principio, svolto nei miei lavori pubblicati e da pubblicarsi, risiede nel 
fatto che un ente normale è del tutto generale senza specialità rispetto ai suoi punti, e costruito 
e studiato che sia, non si ha che a fare delle semplici sezioni e projezioni univoche per ottenere tutti 
gli enti della medesima classe negli spazi inferiori, il cui studio diretto, lo si noti bene, è in ge- 
nerale più complicato di quello dell’ente normale corrispondente. Osservo anche che il principio di 
projezione o sezione si applica con molta utilità a quegli enti, che pure non essendo normali si la- 
sciano costruire facilmente, come per es., tutte quelle superficie a due dimensioni o curve, che vengono 
generate mediante forme fondamentali collineari, molte tra le quali non sono rappresentabili punto 
a punto in un piano. In questo principio trova pieno svolgimento l’altro principio matematico col 
quale da semplici proprietà particolari si passa a semplici proprietà generali, per dedurre poi da queste 
proprietà particolari più complicate. 
Possiamo dire che: tutte le proprietà projettive di uno o più enti di un dato 
spazio, si ottengono sempre mediante o sole projezioni, o sole sezioni, o me- 
diante le une e le altre combinate insieme. 
