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Inoltre si ha che la somma delle dimensioni di due spazî duali in S, è uguale 
an—l. 
2. Come dalla costruzione del piano mediante una retta e un punto fuori di 
essa, di uno spazio a tre dimensioni S3 mediante un piano e un punto fuori di esso, 
si dimostra che il piano contiene 00% punti Sp e 00% rette S1; che lo spazio S3 con- 
tiene 003 punti Sp, 00% rette S,, 00° piani Sa, così dalle analoghe costruzioni per gli 
spazî S, e S; risulta che: 
Lo spazio Sy contiene c0%$y, 00981, 0%Ss, 00483. 
Lo spazio Sy contiene 0c0°S,, 00881, 00°Sa, 00883, 0c0°%$g. 
E in generale che: lo spazio S, contiene c0(“7%) (+1) spazî Sh 
(m<N). 
. Il numero degli spazî m+1, m+2, e an—1 dimensioni che 
passano per unospazio S,siottengono congiungendo conessotutti 
i punti, le rette e gli spazî an—m_—2 dimensioni di uno spazio 
duale Sn—-m— 1. 
Dò qui anche i due seguenti teoremi, dei quali ho fatto un uso continuo nelle 
mie Memorie precedenti sulla geometria a n dimensioni, senza dare però mai di essi 
un enunciato speciale, e cioè: 
Quando uno spazio S, ha p punti comuni con una configura- 
zione di g punti, con una curva o con una superficie a 2, 8, ecc. m 
dimensioni dello spazio S, (n>m) e di g"° ordine (c>p), e si pro- 
jetta daS, questi entiin uno spazio duale S,_m_-1, non avente con 
Sn alcun punto comune (come avviene in generale), le projezioni 
sono configurazioni digq—p punti, curve o superficie a 2,3...m 
dimensioni dell’ordine g—p. 
Se lo spazio Sn ha con una superficie Fy a due dimensioni e 
d’ordine s una curva comune C” (r<s), uno spazio S,_1 passante 
per Sn taglia la H.° in un’altra curva 0°”. Se p è il numero dei 
punti d’incontro della C°7" colla C”", qualunque sia lo spazio S,_1, 
la projezione della superficie nello spazio S,_m_1 è una superfi- 
cie a due dimensioni d’ordine n—r—p. 
Analogamente per le superficie a 3 ecc. a m dimensioni. Il numero p dipende 
evidentemente dalla natura della Fa stessa. 
8. Nello spazio a cinque dimensioni Ss abbiamo come elementi il punto So, la 
retta S,, il piano S,, lo spazio S$3 e Io spazio Sy. 
Due, tre, quattro e cinque spazî S, s'incontrano rispettivamente in uno spazio $g, in 
un piano S,, in una retta S, e in un punto Sy. 
Uno spazio S, incontra una retta S,, un piano S,, uno spazio $3 rispettivamente 
in un punto, in una retta e in un piano. 
Due spazi S3 s'incontrano in una retta, e se s’incontrano in un piano sono si- 
tuati in uno spazio Sy. 
Uno spazio S3 e un piano Ss s'incontrano in un punto e se s'incontrano in una 
retta sono situati in uno spazio Sy. 
Uno spazio Sg e una retta Sj non s'incontrano, se s’ incontrano in un punto 
sono situati in uno spazio Sy. 
