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17. Se noi consideriamo ora una superficie a due dimensioni dello spazio a 
quattro o a tre dimensioni la quale si lasci rappresentare in un piano mediante un 
sistema di curve del 2> ordine o quadruplicemente o triplamente infinito, essa puossi 
ottenere dalla F,f mediante projezione univoca da un punto se sì proietta in S,, e 
da una retta se si proietta nel nostro spazio $3. 
Infatti le coordinate dei punti di una tale superficie dello spazio Sy si espri- 
mono nel seguente modo: | 
Y1:Ya:Ys:Ya:ys = fu:fo:fs:fe: fs (1) 
ove le f sono funzioni razionali ed intere di 2° grado nelle &1, €, €3, e saranno della 
forma : 
fi api Ei + dg Ea + 0g fa + 2019 En fa + 2a,g En E +- 20362 tg i=1,2,8,4,5 (2) 
Ora ponendo nello spazio Sy 
‘9 @, i) 290 x Za DIO) 
OY = Aq C1 + dg 2 1 Agg Lg T 40,9 La 4 4013 Co + 093 Lo (3) 
CY = Xe 
veniamo ad eseguire nello spazio S; una trasformazione rispetto ad un’altra piramide 
fondamentale, le cui facce hanno rispetto alla prima le equazioni y;= 0, 23=0, 
e la superficie (1) è allora la projezione nella faccia x eseguita dal vertice opposto 
nella nuova piramide, cioè dal punto d’incontro dei cinque spazî y;=0. 
L’analoga dimostrazione vale evidentemente per le superficie dello spazio or- 
dinario. 
Vedremo nel $ 5 un’altra semplicissima dimostrazione sintetica di questo 
teorema. 
18: Ritornando alla piramide H osserviamo che al punto e alla retta unità del 
piano Xs corrisponde il punto e lo spazio unità in Sg che sono un punto ed uno 
spazio U, di Fyf. Scegliendo opportunamente il punto e lo spazio unità e riguar- 
dando le w;=0 come le equazioni dei vertici della piramide si ha: 
Uni UgiUziU;iUziug = Mi: 9o 93:13:93 (1) 
da cui si ricava pure che l’equazione della superficie M,3 è: 
Un Uh Us 
M =| Ur UV UU |= 0 (2) 
Uz UG U3 
Dalle equazioni di M,3 e M,° osserviamo che: le due superficie M,} e Fo' 
sono polari reciproche di sè stesse rispetto alla superficie di 
2° grado a quattro dimensioni S-=Sx#=Zw?=0, vale a dire un punto 
di F%, ha per spazio polare rispetto alla S;° uno dei suoi spazî doppi U;. 
Si ha dunque: 
La superficie S,° tocca la Fy' lungo una curva normale Cx. 
Una piramide H e un altro punto e un altro spazio U, deter- 
minano una tale superficie di 2° grado ('). 
(MAL e. p. 184. 
