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coniche date, i cui punti d’incontro hanno per rette polari rispetto alle quattro co- 
niche rispettivamente le quattro tangenti comuni, quindi: 
Ci sono quattro superficie S,° rispetto alle quali una retta Sy 
ha lo stesso spazio polare $3. Ai quattro punti d’incontro di $3_. 
con Fy° sono polarii quattro spazî U, passanti per la retta $ ri- 
spetto alle quattro superficie S;°. 
21. Dalle equazioni stesse delle M,° e M,3 si scorge che la Fo è una su- 
perficie doppia della M,}, e così la Fi è una superficie doppia (nel 
senso reciproco) della M,3. 
$ 3. Figura determinata da una retta Si e da uno spazio Sz rispetto alla F,f. 
22. Sappiamo già che uno spazio S3 incontra la F,f in quattro punti, che pos- 
sono essere tutti reali o immaginari, tutti o in parte coincidenti, come anche sap- 
piamo che per una retta S, possiamo condurre quattro spazî doppi Uz, tutti reali o 
immaginari, tutti o in parte coincidenti. 
Essendo la superficie a quattro dimensioni M,3 costituita dai piani secanti del 3° 
ordine, vuol dire che una retta S, la incontra in tre punti, dunque: 
Una retta S, incontra tre piani secanti di 1° specie S(!), Sal, Ss?) della Fo4 
in tre punti TO, T,,T,0), nei quali, per un teorema dato al n. 11, passano 
due a due sei piani tangenti T(1) Ty); T,(® Ty(®; Tx) T,(8), che contengono le 
tangenti t1() t(1) ; ti(2) t(2) ; 6,3) t(®) condotte da T,1,T,®,T alle coniche 
K0),K(2,K0) dei tre piani secanti, i cui punti di contatto indico colle lettere 
(1) w'(1); ww); w(3) vB). 
Siano inoltre w(1), u(2), vu), «(*) le quattro coniche K situate negli spazî tangenti 
doppi U, passanti per S1. 
Abbiamo dimostrato al n. 6 che un cono y* avente per vertice un punto S, qua. 
lunque dello spazio Sy tocca la Fy' lungo una curva C*, 0 per meglio dire, gli spazî 
U, del cono yf toccano la Faf lungo le coniche K tangenti ad una determinata curva 
C*. Inoltre si è visto che mentre la tangente in un punto della C* giace nel suo 
spazio S, nel quale è contenuta, gli spazî Sg, determinati dai piani tangenti nei punti 
della C* alla F* e dai piani secanti individuati dalle tangenti di C*, passano pel ver- 
tice del cono Yf. È chiaro dunque che se la Si passa pel punto Sy, essa incontra tutti gli 
spazî Ss così ottenuti, e quindi è situata con ciascuno di essi in uno spazio a quattro 
dimensioni. E siccome in tal caso il cono yf contiene i quattro spazî U, passanti per la Si, 
è evidente che la curva C* anzidetta tocca anche le quattro coniche K di questi 
spazî, perchè tocca tutte le coniche degli spazî U, del cono yf. Ciò vale natura)]mente 
per qualunque cono y* della schiera, i cui vertici Sg sono situati sulla retta Si, 
e le cui curve corrispondenti C* toccano le quattro coniche K dei quattro spazî Ux. 
23. I tre piani secanti S3(!) S,(®) Sx(*) s'incontrano in tre punti, che ora indico 
con Ag), Ag, Ag, nei quali s'incontrano rispettivamente due a due le coniche 
K(01), K(), K(3). La figura formata da questi tre piani è identica a quella descritta 
al n. 11 (fig.1). 
Ora lo spazio S3 che congiunge Ss(" con S, incontra evidentemente i piani 
