da un terzo piano My(?/, otterremo una quarta forma X3(* in corrispondenza del- 
l’ottavo ordine o d’ordine inferiore con X,(!), secundo le posizioni speciali di My(2) 
rispetto ai punti fondamentali della sezione della forma Sy(?) X,(* colla Faf. Così 
continuando si ottiene una serie di piani projettanti di 1% e 2% specie, e una serie 
di forme delle quali due successive stanno in una relazione quadratica. Osserviamo 
anche che evidentemente i tre punti fondamentali di maggior mul- 
tiplicità in Yx(° si ottengono dai tre punti fondamentali dell’ul- 
timo piano projettante My(°-!) di 2° specie. 
35. Supponiamo ora che siano dati due piani £»(*) e £,(!) in una corrispon- 
denza cremoniana d’ordine n, e siano 1A, Ag, sAg i tre punti fonda- 
mentali di X3(* di maggior multiplicità. 
Come si è fatto per la trasformazione quadratica possiamo riguardare la rete 
di coniche avente i tre punti fondamentali 1A, sAy(, 3Aol come la projezione 
delle coniche K di F,* da co piani My. Da uno di questi piani My(*7!) projettiamo 
la forma X»(° sulla Faf e poi riprojettiamola nel piano X, da un piano qualunque 
di 1° specie S,(-!), otterremo una nuova forma Ss, che per l’ultimo teorema del 
n nH41 
PI DI 
mentre poi Xg(*) e X,(°-1 sono in una corrispondenza quadratica (teorema n. 31). 
Così continuando si perviene al seguente teorema: 
Una trasformazione Cremoniana tra due piani Sx!) x. può 
essere ‘sostituita da una serie finita di successive projezioni e 
sezioni della Fs con piani secanti di 1° e 2° specie. 
Da questo teorema si deduce il teorema già noto che una trasformazione 
Cremoniana può essere sostituita da una serie di trasformazioni 
quadratiche, perchè due projezioni successive fatte da un piano secante di 1* e 
da uno di 2* specie equivalgono a una trasformazione quadratica. 
Da qui si deduce pure l’altro teorema che la somma degli ordini dei 
punti di maggiore multiplicità è maggiore di n. 
36. Da ciò che precede si ha pure il seguente teorema: 
I diversi sistemi omaloidicidi curve d’un ordine qualunque 
nel piano si ottengono mediante successive projezioni e sezioni 
della Fo con piani di 1° e 2* specie, partendo dal sistema delle 
rette del piano. 
Con questo teorema si possono trovare speditamente i diversi sistemi oma- 
loidici formati da curve dello stesso ordine. 
Infatti dalle rette di X,(1) si passa mediante un piano S, alle coniche di Faf, 
che vengono projettate da un piano Ms in X, in una rete Xy(*) di coniche con tre punti 
comuni. Questa rete viene projettata da un altro piano S,(!) sulla Fyf in curve ra- 
zionali C* aventi tre punti comuni. Questo sistema viene projettato da un altro 
piano Ms(!) in X, in un sistema S,(*) omaloidico di curve del 4° ordine con tre 
punti doppi comuni e tre punti semplici, oppure se M3(!) passa per un punto co- 
mune alle C% otteniamo in XY, un sistema £'3(*) omaloidico di curve del 3° ordine 
con un punto doppio e quattro punti semplici. 
n. 31 è colla forma X(!) in una corrispondenza Cremoniana d’ordine oppure 
