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Il passaggio tra lo spazio £3) e Xx!) può farsi mediante degli 
spazî Sy(®-1), S3=2 ecc. in corrispondenza d’ordine (n—1), (n—2) ece. 
con X(!), ottenuto per projezione univoca dalla F3"° con spazî secanti 
di differente specie. 
S 5. Projezioni della Fy* nello spazio ordinario 
superficie di Steiner. 
38. Si vede anche dalla projezione piana della F,° fatta da un piano secante 
di 1° specie S, che tutte le superficie del nostro spazio (le quali come si sa sono 
sempre a due dimensioni) rappresentabili in un piano mediante un sistema triplamente 
infinito di curve di 2° ordine, sono una projezione della Fo" fatta da una retta Sy 
dello spazio S; sul nostro spazio S3. Infatti projettando da Ss sulla Fsf il sistema di 
curve di 2° ordine, determinato da quattro coniche indipendenti di esso, si ottiene 
su Fo un sistema triplamente infinito di curve Cf, e perciò di spazî Sy che pas- 
sano per una retta S,, che è la retta di proiezione richiesta. 
Le variesuperficieche nel nostro spazio Sg sono rappresentabili 
mediante un sistema triplamente infinito di curve di 2° ordine si 
ottengono projettando la F,° dalle varie posizioni di una retta Si 
rispetto alla superficie F,° stessa. 
89. Consideriamo la posizione generale di una retta Sy. La 
superficie E‘) di projezione è la nota superficie di Steiner, di cui vo 
glio qui dedurre le proprietà principali projettive dalla F,' stessa. 
Lo spazio T, che congiunge la retta Sj con una conica di Fy% contiene un’altra 
conica, la quale incontra la prima nel punto di contatto del piano tangente Ta con- 
tenuto in T; (n. 4). 
Il piano T d’iutersezione di T, con lo-spazio ordinario S3, su cui si projetta 
può considerarsi come la projezione del piano T» fatta dalla retta Sj. Si ha dunque: 
La F'af contiene co? coniche K, situate due a due nei suoi piani 
tangenti Ty. Il punto di contatto di Ty è la projezione del punto d’ incontro delle 
due coniche K, e le due rette osculatrici della F'y/*/ nel piano Ty sono le projezioni 
delle due tangenti alle due coniche K. 
Per la retta S, passano quattro spazî U, (n. 5) i quali toccano la F,* lungo 
quattro coniche u(!, w), «®), «4, dunque la F‘(# possiede quattro piani tan- 
genti doppi, che toccano cioè la F"(*) lungo quattro coniche (1), e2), w'(%), wu, 
le quali possono essere nel caso generaletutterealio immaginarie, 
due reali e due immaginarie, pure essendo la Fy” reale. 
La retta Si incontra tre piani secanti Sa, Sx(2), Sx, (n. 11 e 22), e quindi 
la F",4 riceve tre rette doppie. Ma per la Sj passa un piano secante di 2° 
specie My (n. 23) che passa per i tre punti d’incontro delle tre coniche K(1), K(%, 
K(8) dei tre piani secanti S,(!), S(®), S': dunque le tre rette doppie s'incontrano 
in un punto triplo della F',f, cioè nel punto immagine dei tre punti d’ incontro 
delle tre coniche K. 
Le tangenti #11) 4101); ti(®) t(®2; t®) #0), che passano pei punti T/!, T(?, 
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