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cuspidali, e nella quale si corrispondono i piani che uniscono quella retta con le altre 
due rette doppie. 
Così pure dal n. 26 si ha projettando : 
Le tangenti alle coniche situate nei piani passanti per la retta doppia nei punti 
d’incontro con questa retta costituiscono una superficie rigata del 3° ordine, la cui 
retta semplice è situata mel piano delle altre due rette doppie. 
Uno spazio R3 qualunque passante per la retta Si incontra lo spazio ordinario Sz 
in un’altra retta X,, che può considerarsi come una retta qualunque di S3. Ma Rz 
incontra tre piani tangenti della F>% in tre rette a,(1/, ax, ax®) (n. 28), che ven- 
gono projettate da S, nella X,, e quindi per X, passano tre piani tangenti T", della 
F3(4, vale a dire: la superficie di Steiner è di 3° classe. 
Così pure le configurazioni formate da quattro punti qualunque della F,f rispetto 
allo spazio S3 passanti per essi, vengono projettate in altrettante confi- 
gurazioni analoghe per la superficie di Steiner. 
Queste sono le proprietà principali della superficie di Steiner in gran parte tro- 
vate dagli illustri geometri che ho menzionati nella prefazione; si vede però qui come 
risultino con grande spontaneità dalla Fs* stessa, e come si deve operare in casi si- 
mili per ottenere proprietà di superficie già note o non ancora studiate. 
40. Gli spazi U, passanti per una retta S, possono essere tutti o in parte coin- 
cidenti. I due casi in cui coincidono due, o tre spazi U, corrispondono ai due casi 
speciali della superficie di Steiner considerati l’uno dal Clebsch, l’altro dal Cremona. 
Se la retta S; giace in un piano tangente T, di Fy* essa viene incon- 
trata da co! piani secanti di 1° specie, cioè da quelli che passano pel punto di con- 
tatto del piano Ts, e quindi projettando la F,f dalla S, si ottiene nello spazio or- 
dinario $g un cono di 2° grado, considerato come doppio, il cui vertice è il punto 
d’intersezione del piano tangente Ts collo spazio ordinario. 
Se la retta Sy incontra la Fs* in un punto si ottiene in S3 la superficie rigata 
del 3° ordine, la quale viene meglio studiata mediante la superficie normale rigata 
dello spazio S, ('). 
Se la retta S1 incontra la Fs in due punti si ha nello spazio ordinario la su- 
perficie di 2° ordine. Da ciò che precede si vede pure perchè la superficie di Steiner 
ammette una projezione univoca in un piano Y», cioè quella fatta dal suo punto triplo. 
Questa projezione è precisamente quella della Fy* fatta sul piano X, dal piano secante Ma, 
passante per la retta Sy. Si vede anche perchè non si può ottenere per projezione la 
rappresentazione piana della superficie di Steiner d’ordine minimo, cioè mediante le 
curve di 2° ordine di un sistema triplamente infinito, perchè per la retta S, non 
passa alcun piano secante di 1° specie. 
Tagliando poi la Fs" con uno spazio a tre dimensioni si ottengono le differenti 
specie delle superficie reciproche di quelle dinanzi considerate, e che vengono rappre- 
sentate nel piano da un sistema triplamente infinito di curve di 2° classe. 
(S)AR 1/0. pag: 229. 
