nella quale U, =. K' e L, sono dati dalle (10) e (12), e U è un integrale qual- 
siasi, ma regolare entro d, della equazione data (1); e da questa formola, nella quale, 
oltre alle 7 e 7, ora figurano anche le due funzioni arbitrarie y e 7, trarremo con- 
seguenze importanti. 
4. Per questo però gioverà prima studiare separatamente la funzione L, che 
figura sotto l'integrale semplice del secondo membro, e quelle che figurano sotto 
l'integrale doppio del primo; e noi faremo questi studî incominciando da quelli sulla 
funzione L, che è data dalla (12). 
Osserviamo perciò che in tutti i tratti del contorno nei quali la tangente e 
quindi anche la normale sono determinate, per modo che almeno nelle vicinanze di 
essi nell'interno di © si possa scrivere 2 = (8,9), y= y(8,p), essendo p la nor- 
male contata verso l'interno, e s l'arco contato nel solito senso, e essendo «(s , 7), 
y(s, p) funzioni che ammettono anche le derivate parziali del prim’ ordine ecc. avremo: 
str e 
IP dsl dI ds IP dp 
2U_ Uda IU 
ds dd di 
QU 2Uae  Udy__ Va War. 
dp da dp dy ap de dd dd 
intendendo che le derivate siano prese nei punti dei detti tratti del contorno; quindi, 
ammettendo che, pei varî pezzi del contorno, eccettuati tutt'al più un numero finito 
di punti (i vertici ad es.) siano soddisfatte sempre queste condizioni, e indicando, 
o DIDO , DI DI : 
per abbreviare, colle notazioni <",y' le derivate sa = al contorno, dalle ultime 
c ( 
due trarremo: 
DU _.dU IU DU _LQU QU 
da i RA 
e potremo scrivere: 
| QU QU 
(15) e pi aroata DLI 
con 
Ù t,; , dY È dL dY RIA 
= ba: 4 (e — by"=1 Di ea US), 
a? + (e Ta) Y (SÈ -—(c—a » » x 
r 050 7 da? dI WY d9Y\ 
16) (u= ca? — 20bx'y + ay” o È} == ZI È ) 
(16) u y Hd ay n) VA 
ae Ze IGO 
v= Pax Cp (mn H,) O) +(a—H,) p — À % —_w dp ) 
Vi di dI 
per modo che se indicheremo con »v la parte (m — H,) > (a-Hy)35 di », che, 
