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20. Premessi questi studî generali intorno alle trasformazioni che possono farsi 
sulle varie parti della espressione che figura sotto l'integrale doppio della formola (14), 
la quale colle trasformazioni medesime viene ridotta all’ altra : 
(75) (1-70 + 3 U)edety=—fE L\Hds. 
dove H è dato dalla (50) o dalla (51), e T è dato dalle espressioni precedenti, pren- 
deremo a considerare il caso delle equazioni di tipo ellittico o parabolico, lasciando 
da parte quelle di tipo iperbolico, e supponendo sempre che 7 e y si mantengano 
regolari e positivi in tutto il campo € che si considera, e tutt'al più divengano zero 
in tutto o parte del contorno o in un numero finito di punti o lungo un numero finito 
di punti o lungo un numero finito di linee. 
E osserveremo che allora la forma H data dalla (50) sarà sempre positiva o nulla, 
quando nel caso delle equazioni di tipo parabolico s' intenda, come già dicemmo di fare 
sempre, che le trasformazioni che conducono alla H siano quelle del $ 8, per le quali 
cioè AB, — A)B è diverso da zero; e quindi se si suppone (come del resto può sempre 
farsi, e come sempre avviene negli studî relativi alla unicità degli integrali della (1)), 
che il termine pe dU sotto l'integrale doppio manchi, o anche, più generalmente, 
si sappia che non potrebbe mai essere negativo ('), allora si può evidentemente af- 
fermare che l'integrale U, della (9) e quindi anche quello U della (1) dovranno 
essere zero in tutto C quando siano soddisfatte contemporaneamente le due condizioni 
seguenti : 
12) « che sia zero (per qualsiasi ragione) l'integrale al contorno JE LU ds 
« del secondo membro della (14), o almeno si sappia che non può essere negativo; 
2°) « che la quantità che nei paragrafi precedenti indicammo con T e per la 
« quale demmo varie forme sotto cui essa può porsi nei varî casì, e che per le nostre 
« ipotesi sulle quantità che vi figurano sarà sempre finita e continua, sia sempre ne- 
« gativa nel campo C e tutt'al più divenga zero in un numero finito di punti o lungo 
«un numero finito di linee di questo campo ». E evidentemente quando tutte queste 
particolarità si presentino, se anche non si sapesse avanti si dovrà concludere di ne- 
cessità che go = 0. 
(1) Questi risultati varrebbero appunto anche quando il termine — 900 ci fosse, ma non fosse 
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mai negativo, e Yo contenesse ancora la U e le sue derivate; e volendolo, si può tenere conto di 
questa circostanza per estendere, sotto certe condizioni, i nostri risultati anche ad equazioni più 
generali della (1) che siano cioè delia forma: 
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e per le quali si abbia ancora ae — 2° =0, e /sia una funzione non più di primo grado di 
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