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21. Quando poi T, senza essere mai positivo, debba necessariamente raggiungere 
il valore zero in porzioni superficiali di C o in punti o linee in numero infinito, 
allora i risultati precedenti continuano il più spesso ad essere giusti, o al più subi- 
scono soltanto leggiere modtficazioni; ma per vedere bene questo conviene fare con- 
siderazioni speciali, perchè dove T= 0 la formola (75) non ci dà più subito U,=0 
e quindi U=0, ma ci dà soltanto H=0; e questa, nel caso delle equazioni di 
tipo ellittico per la circostanza che AB, — AB è diverso da zero dà luogo sempli- 
cemente alle due equazioni: 
QU QU 
sa =pUi, Spi = QU: 
le quali, senza che si abbiano altre circostanze speciali, non portano sempre a dire 
che debba essere ancora U, =0; mentre nel caso delle equazioni del tipo parabo- 
lico dà soltanto l’unica equazione 
dU, QU, 
a dWWY 
(76) a —mU,=0, 
Nel caso però delle equazioni del tipo ellittico, le due equazioni precedenti alle 
quali conduce ora la (75) mostrano che se le due quantità p, e 1, cioè 
bn — cem bm_—- an ì 7 i 
= n — —; non sono le derivate rispetto ad x e y di una stessa 
RE IT STO È y 
funzione, dovrà essere ancora U, =0, e quindi U= 0 in tutto C. 
£ È dn : dd dI 
Se poi al contrario le quantità stesse p, e 9, saranno le derivate = - 
cl cl 
una stessa funzione @,, allora avremo evidentemente log U, =0,+ cost. e quindi 
U=%ye%, essendo 4 una costante, ciò che ci permette ancora di dire che basterà 
sapere che U è zero in un punto, nel quale y non è zero, e @ non è infinito e ne- 
gativo, per potere concludere che U è zero in tutto C. 
E siccome l'essere soddisfatta la prima delle condizioni del paragrafo precedente, 
e il riscontrare che T non è mai positivo, e in qualche punto p è anche diverso da 
zero (e quindi è negativo), porterà necessariamente, a causa della continuità, che 
questo avvenga non soltanto in questo punto p ma in un intorno superficiale di esso 
nel quale si avrà perciò U= 0; così in questo caso sarà sempre U=0 in tutto C, 
quand’ anche le solite quantità p, e 9, siano le derivate di una stessa funzione ®. 
D'altra parte poi il trovare U = %ye® porterebbe che %ye® dovesse essere un 
integrale della equazione data (1); quindi se questo non fosse altro che per X = 0 
O se per esso non venissero soddisfatte le condizioni al contorno altro che in questo 
caso, si dovrebbe ancora concludere che U è zero in tutto C; talchè, riassumendo, 
sì può ora evidentemente affermare che mel caso delle equazioni di tipo ellittico 
alla seconda delle condizioni del paragrafo precedente si può sostituire l’altra: 
« che T in tutto C non sia mai positivo; con questo però che quando risulti sem- 
« pre T=0, le quantità p, e 9: non siano le derivate rispetto ad 7 e y di una stessa 
« funzione @®,, 0 essendolo si sappia che vi è almeno un punto di C nel quale U = 
« e in esso y non è zero e 6, non è infinito e negativo, o si riscontri che, essendo go0="0, 
