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o w e o, potremo soddisfare alla condizione T = 0, e alle condizioni solite dove la 
equazione è del tipo parabolico; e ciò sempre in campi convenienti e procurando, 
coi valori che si sceglieranno per m e 2, « e 8, o @ e o di non alterare il valore 
o almeno il segno dell’ integrale SELVA; dunque, per quanto si disse al $ 20, 
sì può ora evidentemente affermare che « nel caso delle equazioni (1) di tipo ellit- 
« tico o parabolico (ac — 8° = 0) l'essere soddisfatta la prima delle condizioni del 
DMENGTTO OLO o (4 
« $S 20 stesso, cioè l’ essere per qualsiasi ragione IE L.Uds=0, o anche soltanto 
« il sapere che questo integrale non può essere negativo, basterà, almeno in molti 
« casì, per potere affermare che U sarà zero in tutto C, quando questo campo € sia 
« preso in ragioni convenienti; U essendo sempre un integrale della equazione stessa (1); 
« e ciò bene inteso quando 9, sia zero, o almeno quando si sappia che il termine 
È 33 4U non può essere negativo entro © ». 
Tutto questo però soltanto ne lcaso delle funzioni U, o U, = Z regolari entro C; 
per il chè quando, essendo certi della esistenza di una tale funzione regolare U o U, 
sì giunga a concludere che colle condizioni date essa deve essere zero in tutto C, 
bisognerà di necessità che nella (1) manchi il secondo membro go. 
23. Dei risultati ottenuti potremo valerci per studiare i casi di unicità degli 
integrali delle equazioni (1) di tipo ellittico o parabolico che soddisfano a condizioni 
date al contorno per l'integrale o per le sue derivate, e che sono regolari in tutto 
il campo. 
Ammettendo infatti che con queste condizioni esistessero due integrali regolari 
U, e uf della (1), la loro differenza U = U, — U, verrebbe ad essere un integrale 
della equazione cui si riduce la (1) stessa facendovi go = 0, e al contorno soddisfa- 
rebbe ad altre condizioni speciali conseguenza di quelle date; quindi se dipendente- 
mente da queste condizioni al contorno, o dalla forma di questo, la differenza 
u= UU venisse necessariamente a soddisfare alle condizioni 1% e 2% del $ 20, 
o a quelle modificative del $ 21, allora in tutto C si avrebbe U=U, — U,=0, 
o in altri termini « colle condizioni date al contorno l'integrale della equazione (1) 
« sarebbe unico ». 
Segue da ciò che gli studî sulla unicità degli integrali della equazione (1) dove 
essa è del tipo ellittico o parabolico si riducono alla ricerca di casi nei quali sono 
soddisfatte le condizioni 1% e 2% del $ 20, o quelle modificate del $ 21, per la dif- 
ferenza U di due integrali U, e U, che si ammettesse potere esistere che soddisfa- 
cessero alle condizioni date; ed è notevole che per la prima di queste due condizioni 
le verifiche saranno da farsi soltanto al contorno in relazione alle condizioni date e 
alla forma di questo, e per la seconda le verifiche saranno da farsi nell'interno del 
campo in relazione ai coefficienti della equazione data e ai valori che per soddisfare 
alla prima condizione si saranno dovuti prendere per alcune o per tutte le funzioni 7, y, 
emen,oe ef, 0 e o, e che in certi casi potranno anche restare del tutto 
arbitrarie. 
