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le quali, quando siano date 7, e m e 2, 0 « e #, el'integrale particolare 2, della (98) 
dal quale si parte e che si prenderà uguale a zero nel caso di «= 0, saranno perfet- 
tamente determinate. 
Ne segue evidentemente che per tutti quei campi C nei quali, coi valori che si 
avranno per 7 e z, e per nm e 2, 0 a e f#, l'unao l'altra delle quantità (102) risul- 
terà negativa, altrettanto avverrà di T quando sì prenda g(0) = 0, 08= senz'altro. 
Se poi quella delle quantità (102) che dovremo esaminare, nei campi che si 
considerano prenderà anche valori positivi o nulli, allora ammesso che in quei campi 
u resti regolare, e il prodotto u(0H, — aHx) sia sempre diverso da zero, e quindi ne 
resti sempre discosto più di un certo numero xy, e sia sempre dello stesso segno; e 
ammesso pure che i valori positivi della quantità stessa (102) siano sempre inferiori 
a un numero /,, si vede subito che T risulterà sempre negativo nei campi medesimi 
quando (0) sia scelta in modo che g'(0) abbia sempre il segno di u(0H, — aHx) 
e il valore assoluto di u,g'(0) non sia mai inferiore a 2, 
Ora evidentemente questo potrà farsi con infinite funzioni g(0) ('); dunque se 
s'indica con go(0) una di queste funzioni, è certo che prendendo < = 20 +4 go(0), 
anche in questi casi nei campi C verrà TZ0, e neppure si presenterà il caso di 
T=0; quindi si può ora affermare che nel caso delle equazioni del tipo parabolico, 
con un valore qualsiasi regolare di 7 e un valore conveniente di y si potrà sempre 
fare in modo che si abbia T<0, a meno che in porzioni superficiali del campo che 
si considera, o anche soltanto in certi punti o lungo certe linee u cessi di essere regolare, 
o il prodotto u(aH,—2H,) prenda il valore zero. E quest'ultimo caso di eccezione 
non potrà aversi altro che quando la quantità (102) che si considera pei valori scelti 
dit, emen,ox e è, e z prenda anche valori positivi o nulli. 
E si può notare che quando, come supponiamo, 4 è diverso da zero, il caso in 
cui in tutto uno spazio superficiale si abbia 4H, — DH,="0 corrisponderà a equazioni 
specialissime che si trattano come le equazioni differenziali ordinarie, giacchè ridu- 
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cendole alla forma tipica delle equazioni del tipo parabolico = nt det, + gu= 9, 
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si vede che la conlizione precedente porta che sia ‘= 0, con che la equazione si 
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Questi risultati confermano evidentemente la prima parte di quelli esposti al $ 34. 
41. Tutti i risultati ottenuti finora supponevano che fossero date avanti le quantità 
m e n, 0 ledue @ e #, e una delle due y o 7. Quando poi siano invece date y e 7, 
e restino a determinarsi p. es. le m e x, o queste si riducano ad una sola perchè le 
condizioni del problema permettano di prenderne una arbitrariamente, o perchè fra 
esse sia stabilita qualche relazione, come avviene nel caso delle equazioni del tipo para- 
n 
i m ; 
bolico nel qual caso deve essere uni allora colla integrazione della equazione del 
riduce all'altra 
(1) Una funzione semplice che soddisfa a questa condizione sarà la funziune = —— senh 0. 
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4 
