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razioni svolte ora e di quelle dei $S 4 e seg. ci fermeremo in modo speciale su 
alcuni di questi casi. 
47. Evidentemente un primo caso sarà quello già trattato da altri, in cui siano 
dati su tutto il contorno i valori che deve prendere l’integrale della (1), perchè in 
questo caso la differenza U dei due integrali U, e Vi che si supponessero esistere 
sarebbe zero sul contorno medesimo, e l'integrale I verrebbe zero, qualunque fossero 
menf(oaep,0weo)ere y; talchè si trova così che per le equazioni di 
tipo ellittico o parabolico nei campi presi nelle regioni sopra indicate T, non può 
esistere che un integrale che prende valori dati al contorno quando nei campi stessi 
il T non sia mai zero o lo sia soltanto in un numero finito di punti o lungo un 
numero finito di linee. E in quelli dei detti campi nei quali sia sempre ‘IN=0; 
potranno aversi eccezioni nel caso delle equazioni che sono sempre o in parte del tipo 
parabolico nei campi stessi, nel qual caso potrà essere utile di applicare le conside- 
razioni della seconda parte del $ 21; ma nel caso delle equazioni che sono general- 
mente del tipo ellittico, dietro quanto si disse al S 21 stesso, l'unicità dell’integrale 
si manterrà ancora, salvo tutt'al più nel caso che le quantità pi e 1 del $ 21, 
in—-cm  bm—an dd do +. 3 
—, = siano le derivate parziali — e di una stessa funzione 
ed ac — b° dI dY 
0,, e sul contorno la funzione y sia sempre zero, o la funzione @ sia sempre infinita 
e negativa (il che però non potrà mai avvenire quando, anche sul contorno, 4, dc, 
m e n continueranno ad essere regolari, e 4e — 0° non sarà zero). 
In particolare dunque, e salvo sempre, occorrendo, a tener conto delle osservazioni 
fatte al S$ 21, si può affermare che per le equazioni che sono generalmente di tipo 
ellittico non potrà esistere che un integrale regolare che prenda valori dati al contorno: 
a) în quei campi nei quali il coefficiente 9 sia negativo o nullo, e la equazione 
aggiunta abbia un integrale # regolare e che generalmente (cioè tranne in un numero 
finito di punti o lungo un numero finito di linee) è sempre positivo e diverso da 
cioè 
zero ($ 25 a); 
0) in quei campi nei quali tanto la equazione data quanto la equazione aggiunta 
abbiano ciascuna integrali y° e « regolari e che generalmente sono sempre positivi 
e diversi da zero ($ 25 2); 
c) in quei campi nei quali per qualche valore costante di 7 sia negativa o 
nulla la quantità (79) del $ 26, cioè: 
È p Pb > Hi, — 20HxHy 4-cH7 
g+a (+ e) + e e Eee 
che nel caso della solita equazione tipica del tipo ellittico: 
pg 
gr»: 
(105) > 
si riduce all'altra più semplice: 
E T) ++), 
